Câu hỏi của Incognito

Question

Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O;R). Điểm E di động trên cung nhỏ CD. AE cắt BD,CD theo thứ tự ở M,N; BE cắt AC,CD theo thứ tự ở P,Q. Hai đoạn DP và CM cắt nhau tại I.

a) Chứng minh...

Nguyễn Tất Đạt · Accepted Answer

A B C D O M N P Q E I

a) Ta có: $\Delta$ABC vuông cân tại B (Vì tứ giác ABCD là hình vuông)

Theo tỉ số lượng giác : $AC=AB\sqrt{2}\Rightarrow\frac{1}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{AC}\Leftrightarrow\frac{AM}{AB}=\frac{AM\sqrt{2}}{AC}$ (1)

Dễ thấy $\Delta$AMB ~ $\Delta$DME (g.g) $\Rightarrow\frac{AM}{AB}=\frac{DM}{DE}$ (2)

Lại có: ^AEC = 90⁰ và AC vuông góc BD nên $\Delta$AOM ~ $\Delta$AEC (g.g) $\Rightarrow\frac{AM}{AC}=\frac{OM}{CE}$(3)

Thế (2) và (3) vào (1) ta có hệ thức: $\frac{DM}{DE}=\frac{OM\sqrt{2}}{CE}\Rightarrow DM.CE=\sqrt{2}.OM.DE$(đpcm).

b) Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số không âm: $\frac{OM}{DM}+\frac{OP}{CP}\ge2\sqrt{\frac{OM}{DM}.\frac{OP}{CP}}$

Từ kết quả câu a ta rút ra: $\frac{OM}{DM}=\frac{CE}{\sqrt{2}.DE}$. Suy ra: $\frac{OM}{DM}+\frac{OP}{CP}\ge2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{CE}{CP}.\frac{OP}{DE}}$(*)

Ta có các cặp tam giác đồng dạng sau (TH g.g): $\Delta$ABP ~ $\Delta$ECP và $\Delta$BOP ~ $\Delta$BED

$\Rightarrow\frac{CE}{CP}=\frac{AB}{BP}=\frac{R\sqrt{2}}{BP}$ (4) và $\frac{OP}{DE}=\frac{BP}{BD}=\frac{BP}{2R}$ (5)

Thế (4), (5) vào (*) ta được: $\frac{OM}{DM}+\frac{OP}{CP}\ge2\sqrt{\frac{1}{\sqrt{2}}.\frac{R\sqrt{2}}{BP}.\frac{BP}{2R}}=\sqrt{2}$

Vậy Min $\frac{OM}{DM}+\frac{OP}{CP}=\sqrt{2}$. Dấu "=" xảy ra <=> E là điểm chính giữa cung nhỏ CD.

c) +) Chứng minh S_DPQ = S_CMN ?

Ta thấy: ^ACD = ^AEB (=45⁰) (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau) hay ^NEP = ^NCP

=> Tứ giác CENP nội tiếp => ^PNC = ^PEC = ^BEC = ^BDC => NP // OD (2 góc đồng vị bằng nhau)

Theo t/c diện tích miền đa giác: S_DPQ = S_NPQ + S_DPN. Do S_DPN = S_ONP (Vì NP//OD)

Nên S_DPQ = S_NOPQ (6). Chứng minh tương tự: S_CMN = S_NMOQ (7)

Mặt khác: Cũng từ NP // OM => S_MON = S_MOP. Tương tự: S_POQ = S_MOP=> S_MON= S_POQ

Lại theo t/c diện tích miền đa giác: S_MON + S_NOQ = S_POQ + S_NOQ => S_NMOQ = S_NOPQ (8)

Từ (6),(7),(8) suy ra: S_DPQ = S_CMN (đpcm).

+) Chứng minh $\frac{IM}{ME}+\frac{NQ}{AB}+\frac{IP}{PE}=1$?

Dễ có các tứ giác MOCE và DOPE nội tiếp => ^MOE = ^MCE= ^DPE hay ^ICE = ^IPE => Tứ giác CEIP nội tiếp

=> ^PIE + ^PCE = ^OME + ^OCE (=180⁰) => ^PIE = ^OME

Xét $\Delta$EIP và $\Delta$EMO có: ^IPE = ^MOE (cmt); ^PIE = ^OME (cmt) => $\Delta$EIP ~ $\Delta$EMO (g.g)

=> $\frac{IP}{PE}=\frac{MO}{OE}=\frac{MO}{OD}$. Qua ĐL Thales (MQ//OC) ta có tỉ số: $\frac{IP}{PE}=\frac{MO}{OD}=\frac{CQ}{CD}$

Tương tự: $\frac{IM}{ME}=\frac{OP}{OC}=\frac{DN}{CD}$. Từ đó có:$\frac{IM}{ME}+\frac{NQ}{AB}+\frac{IP}{PE}=\frac{DN}{CD}+\frac{NQ}{CD}+\frac{CQ}{CD}=1$(đpcm).

Câu trả lời: