Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Tam giác ABC cân tại A, H là trung điểm của BC nên \(AH\perp BC\).
Có \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BD}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{AD}\right)\left(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HD}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{HD}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\overrightarrow{AD}.\overrightarrow{BH}\right)\) (do \(AH\perp BC\) )
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}.\left(\overrightarrow{BH}+\overrightarrow{HD}\right)+\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HD}\right).\overrightarrow{BH}\)
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BH}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BH}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HD}.\overrightarrow{BH}\)
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{HD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HD}.\overrightarrow{BH}\) ( do \(AH\perp BC\) )
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HD}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{BH}\right)\)
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HD}\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HC}\right)\) ( doM là trung điểm của BC).
\(=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{HD}.\overrightarrow{AC}\)
\(=0\) (Do \(HD\perp AC\) )
\(\overrightarrow{MN}=\left(1;-3\right)\Rightarrow MN=\sqrt{10}\)
Đặt \(AB=a\)
Qua N kẻ đường thẳng song song BC cắt AB và CD lần lượt tại P và Q, gọi F là trung điểm CD \(\Rightarrow MF\) song song và bằng BC
Theo Talet: \(\dfrac{PN}{BC}=\dfrac{AP}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{3}{4}\Rightarrow PN=\dfrac{3a}{4}\) ; \(DQ=AP=\dfrac{3a}{4}\) ; \(MP=NQ=\dfrac{a}{4}\)
\(\Rightarrow MN^2=10=MP^2+PN^2=\dfrac{a^2}{16}+\dfrac{9a^2}{16}\Rightarrow a=4\)
\(\Rightarrow MF=4\) ; \(NQ=FQ=\dfrac{a}{4}\Rightarrow FN=\sqrt{NQ^2+FQ^2}=a\sqrt{2}\) ;
Đặt \(F\left(x;y\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{MF}=\left(x-1;y-2\right)\\\overrightarrow{NF}=\left(x-2;y+1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2+\left(y-2\right)^2=MF^2=16\\\left(x-2\right)^2+\left(y+1\right)^2=FN^2=2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}F\left(1;-2\right)\\F\left(\dfrac{17}{5};-\dfrac{6}{5}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\overrightarrow{MF}=\left(0;-4\right)=-4\left(0;1\right)\\\overrightarrow{MF}=\left(\dfrac{12}{5};-\dfrac{16}{5}\right)=\dfrac{4}{5}\left(3;-4\right)\end{matrix}\right.\)
Phương trình CD:
\(\left[{}\begin{matrix}0\left(x-1\right)+1\left(y+2\right)=0\\3\left(x-\dfrac{17}{5}\right)-4\left(y+\dfrac{6}{5}\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(BM=2MA\Rightarrow\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}\); \(AN=3NC\Rightarrow\overrightarrow{AN}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\)
Do đó:
\(\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{DN}=\left(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}\right)\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AN}\right)\)
\(=\left(-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)\left(-\overrightarrow{AD}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=\left(\dfrac{5}{12}\overrightarrow{AB}+\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AD}\right)\left(\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AB}-\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}\right)\)
\(=\dfrac{5}{16}AB^2-\dfrac{3}{16}AD^2=\dfrac{1}{8}AB^2=\dfrac{1}{8}\) (chú ý rằng \(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}=0\) và \(AB=AD=1\))
Đặt \(AB=a\), qua N kẻ đường thẳng song song BC cắt AB và CD lần lượt tại P và Q
Theo Talet: \(\Rightarrow\dfrac{NQ}{AD}=\dfrac{CQ}{CD}=\dfrac{CN}{AC}=\dfrac{1}{4}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}NQ=\dfrac{a}{4}\Rightarrow NP=\dfrac{3a}{4}\\CQ=BP=\dfrac{a}{4}\Rightarrow DQ=AP=\dfrac{3a}{4}\\\end{matrix}\right.\)
Pitago tam giác ADM: \(DM^2=AM^2+AD^2=\dfrac{5a^2}{4}\)
Pitago tam giác MNP: \(MN^2=MP^2+PN^2=\dfrac{5a^2}{8}\)
Pitago tam giác DQN: \(DN^2=DQ^2+QN^2=\dfrac{5a^2}{8}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}MN=DN\\MN^2+DN^2=DM^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\Delta DMN\) vuông cân tại N
Gọi I là trung điểm DM \(\Rightarrow IN\perp DM\)
Phương trình đường thẳng qua N và vuông góc DM có dạng:
\(0\left(x+\dfrac{3}{2}\right)+1\left(y-\dfrac{1}{2}\right)=0\Leftrightarrow y-\dfrac{1}{2}=0\)
Tọa độ I là nghiệm: \(\left\{{}\begin{matrix}x-1=0\\y-\dfrac{1}{2}=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow I\left(1;\dfrac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{IN}=\left(-\dfrac{5}{2};0\right)\Rightarrow IN=\dfrac{5}{2}\)
\(\Rightarrow DI=IN=\dfrac{5}{2}\)
Do D thuộc x-1=0 nên tọa độ có dạng \(D\left(1;d\right)\) \(\Rightarrow\overrightarrow{ID}=\left(0;d-\dfrac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\left|d-\dfrac{1}{2}\right|=\dfrac{5}{2}\Rightarrow d=-2\)
\(\Rightarrow D\left(1;-2\right)\)
Từ đây dễ dàng xác định tọa độ các điểm còn lại.
Gọi K là giao điểm AC và DM, theo Talet:
\(\dfrac{AK}{CK}=\dfrac{KM}{DK}=\dfrac{AM}{DC}=\dfrac{1}{2}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}DK=\dfrac{2}{3}DM=\dfrac{4}{3}DI\\AK=\dfrac{1}{3}AC=\dfrac{4}{9}AN\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{DK}=\dfrac{4}{3}\overrightarrow{DI}\Rightarrow\) tọa độ K
\(\overrightarrow{AK}=\dfrac{4}{9}\overrightarrow{AN}\Rightarrow\) tọa độ A
Tọa độ D, tọa độ I \(\Rightarrow\) tọa độ M \(\Rightarrow\) tọa độ B
\(\Rightarrow\) Tọa độ C
#)Góp ý :
Bạn tham khảo nhé :
gọi giao điểm của AC và BD là O
gọi H là trung điểm của OD
Do AN =3NC và O là trung điểm AC
=> N là trung điểm của OC
=> NH là đường trung bình của tam giác OCD
=> NH // CD // AB và NH = 1/2 CD = 1/2 AB = AM
=> AMNH là hình bình hành
=> MN // AH (1)
Lại có: trong tam giác ADN có AO vuong AN và NH vuông AD
=> H là trực tâm tam giác ADN
=> AH vuong ND (2)
Từ (1)(2) => MN vuông ND
=> tam giac DNM vuong tại N
Kéo dài NH cắt AD tại K
Rõ ràng tam giác AKN là tam giác vuông cân (do gocKAN = 45)
=> AK = KN
=> 2 tam giac vuông AHK và NDK bằng nhau (gcg)
=> AH = ND
mà AH = MN (do AMNH là hình bình hành)
=> MN = ND
=> tam giac DMN vuông cân tại N
Nguồn : Cho hình vuông ABCD có M là trung điểm của AB, N thuộc đoạn AC sao cho NA = 3NC. Chứng minh tam giác DMN vuông cân tại N. Tính độ dài cạnh của hình vuông biết MN = √10 - Toán học Lớp 9 - Bài tập Toán học Lớp 9 - Giải bài tập Toán học Lớp 9 | Lazi.vn - Cộng đồng Tri thức & Giáo dục
Link : https://lazi.vn/edu/exercise/cho-hinh-vuong-abcd-co-m-la-trung-diem-cua-ab-n-thuoc-doan-ac-sao-cho-na-3nc-chung-minh-tam-giac-dmn