Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bạn mở chuyên mục Câu hỏi hay đi. Có lời giải đấy.
Chúc bạn học tốt.
Kẻ\(AK\perp AM\left(K\in OC\right)\)
\(AH\perp DC\left(H\in DC\right)\)
Áp dụng hệ thức giữa cạnh và đường cao và tam giác vuông AKN , đường cao AH , ta có
\(\dfrac{1}{AK^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{1}{AH^2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta AMB\)và\(\Delta ADK\)có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AD=AB\\\widehat{B}=\widehat{D}\\\widehat{DAK}=\widehat{MAB}\end{matrix}\right.\)
=> \(\Delta AMB=\Delta AKD\)
=> AM=AK ( 2 cạnh tương ứng)(2)
Áp dụng định lý py-ta-go , ta có :
\(HD^2+AH^2=AD^2\)
=>\(AH^2=AD^2-HD^2\)(3)
\(\Delta ADH\perp H\)có :\(\widehat{ADH}+\widehat{DAH}=90^o\)
=> \(\widehat{ADH}=90^o-60^o\)(Vì ABCD là h.thoi có góc DAB=120 độ => góc DAH=60 độ)
=>\(\widehat{ADH}=30^o\)
=>\(DH=\dfrac{1}{2}AD\)(4)
Thay (4) vào (3) , ta có : \(AH^2=AD^2-\left(\dfrac{1}{2}.AD\right)^2\)
=\(\dfrac{3}{4}.AD^2\)
=\(\dfrac{3}{4}.AB^2\)(vì AB=AD)
Thay (2) vào (5) , ta có :
\(\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AN^2}=\dfrac{4}{3AB^2}\)
<=> \(\dfrac{3}{AM^2}+\dfrac{3}{AN^2}=\dfrac{4}{AB^2}\)
Một bài toán cổ điển:
A B C D E F .
Chứng minh rằng \(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{AB^2}\)
Thôi t chỉ liên tưởng thế thôi, vào bài nào :vv
A B C D E F H H
Cần chứng minh \(\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AF^2}=\frac{1}{3}\Leftrightarrow\frac{4}{AE^2}+\frac{4}{AF^2}=\frac{4}{3}\)
Ta có: AB//CF ( do ABCD là hình thoi ) \(\Rightarrow\frac{AB}{AE}=\frac{CF}{EF}\Leftrightarrow\frac{4}{AE^2}=\frac{CF^2}{EF^2}\)(theo định lý thales)
Tương tự ta cũng có: \(\frac{4}{AF^2}=\frac{CE^2}{EF^2}\)\(\Rightarrow\frac{4}{AE^2}+\frac{4}{AF^2}=\frac{CE^2+CF^2}{EF^2}\)
giờ chỉ cần chứng minh \(\frac{CE^2+CF^2}{EF^2}=\frac{4}{3}\Leftrightarrow EF=\frac{\sqrt{3\left(CE^2+CF^2\right)}}{2}\)(*)
Kẻ CH vuông góc với EF. Dễ dàng chứng minh góc CEF=45 và CFE=15
Trong tam giác vuông EHC:\(EH=CH.\cot45^0\)
Trong tam giác vuông FHC:\(FH=CH.\cot15\)\(\Rightarrow EF=CH.\left(\cot45^0+\cot15^0\right)\)
Tương tự ta có:\(CH=CE.\sin45^0\)\(\Rightarrow CE=\frac{CH}{\sin45^o}\)và \(CF=\frac{CH}{\sin15^o}\)
(*) được chứng minh khi \(4\left(\cot45+\cot15\right)^2=\frac{3}{\left(\sin45\right)^2}+\frac{3}{\left(\sin15\right)^2}\)
hình như nhầm ở đâu ý :< ứ gõ lại đâu