Question

[Kyoko Kagamine]

Cho hình thoi ABCD, góc A= 60°, trên các cạnh AB, BC lấy điểm M, N sao cho BM+BN=AB.

CMR: đường trung trực của MN luôn đi qua một điểm cố định

Giúp mik vs nhé mai mik học r

Answer 1

[soyeon_Tiểubàng giải]

Nối DM, DN

Trên cạnh AD lấy H sao cho AH = AM

\(\Delta\) AHM có AH = AM (cách vẽ) nên \(\Delta\) AHM cân tại A (đn)

\(\Delta\) AHM cân tại A có góc A = 60^o (gt) nên \(\Delta\) AHM đều

=> MH = AM = AH

ABCD là hình thoi (gt) nên AB = BC = CD = AD (đn)

AB = BC <=> BN + NC = BM + AM = AB

Mà BM + BN = AB (gt)

Do đó, BM = NC, AM = BN = MH

AB = AD (cmt) <=> BM + AM = AH + HD

Mà AM = AH (cách vẽ)

Do đó, BM = HD

ABCD là hình thoi (gt) nên AD // BC (t/c)

=> góc A + góc B = 180^o (trong cùng phía)

<=> 60^o + góc B = 180^o

<=> góc B = 120^o

\(\Delta AMH\) đều (cmt) nên góc AHM = 60^o

Lại có: AHM + MHD = 180^o (kề bù)

Do đó, MHD = 120^o

\(\Delta MBN=\Delta DHM\left(c.g.c\right)\)=> MN = MD (2 cạnh t/ứ)

và góc N₁ = góc M₁

Lại có: N₁ + M₂ = 60^o (tự c/m)

Do đó, M₁ + M₂ = 60^o

=> góc DMN = 60^o

\(\Delta\) DMN cân tại M (vì MN = MD) có DMN = 60^o (cmt) nên tam giác DMN đều

=> đường trung trực của MN đi qua D

Mà D cố định do hình thoi ABCD cố định nên ta có đpcm