Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi G là trọng tâm tam giác
\(\left|\overrightarrow{u}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}\right|\)
\(=\left|3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\right|=\left|3\overrightarrow{MG}\right|=3MG\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|_{min}\) khi \(MG_{min}\)
\(\Rightarrow M\) là chân đường vuông góc hạ từ G xuống BC hay M là trung điểm BC
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|_{min}=3MG=AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}\)
Gọi N là trung điểm AB
\(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|\)
\(\Leftrightarrow2\left|\overrightarrow{MN}\right|=\left|\overrightarrow{BA}\right|\)
\(\Leftrightarrow MN=\dfrac{a^2}{2}\)
\(\Rightarrow\Delta MAB\) vuông tại M
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(\Rightarrow MH^2=HA.HB\le\dfrac{\left(HA+HB\right)^2}{4}=\dfrac{AB^2}{4}=\dfrac{a^2}{4}\)
\(\Rightarrow MH\le\dfrac{a}{2}\)
\(\widehat{ABC}=120^0\Rightarrow\widehat{DAB}=180^0-120^0=60^0\)
\(\Rightarrow\Delta ABD\) đều
Gọi E là trung điểm AD \(\Rightarrow\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BD}+\dfrac{1}{2}\overrightarrow{BA}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{BG}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BE}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BD}+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\dfrac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\right)+\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}\)
\(=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{BA}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AD}=-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AD}\)
Đặt \(\overrightarrow{u}=\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{AD}\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|^2=\left(-\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{4}{3}\overrightarrow{AD}\right)=\dfrac{4}{9}AB^2+\dfrac{16}{9}AD^2-\dfrac{16}{9}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD}\)
\(=\dfrac{4}{9}.4a^2+\dfrac{16}{9}4a^2-\dfrac{16}{9}.2a.2a.cos60^0=\dfrac{16}{3}a^2\)
\(\Rightarrow\left|\overrightarrow{u}\right|=\dfrac{4a\sqrt{3}}{3}\)
