Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Gọi E là trung điểm BK
Chứng minh được QE là đường trung bình \(\Delta\)KBC nên QE//BC => QE _|_ AB (vì BC_|_AB) và \(QE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}AD\)
Chứng minh AM=QE và AM//QE => Tứ giác AMQE là hình bình hành
Chứng minh AE//NP//MQ (3)
Xét \(\Delta AQB\)có BK và QE là 2 đường cao của tam giác
=> E là trực tâm tam giác nên AE là đường cao thứ 3 của tam giác AE _|_ BQ
=> BQ _|_ NP
b) Vẽ tia Ax vuông góc với AF. Gọi giao Ax và CD là G
Chứng minh \(\widehat{GAD}=\widehat{BAP}\)(cùng phụ \(\widehat{PAD}\))
=> \(\Delta\)ADG ~ \(\Delta\)ABP (gg) => \(\frac{AP}{AG}=\frac{AB}{AD}=2\Rightarrow AG=\frac{1}{2}AP\)
Ta có \(\Delta\)AGF vuông tại A có AD _|_ GF nên AG.AF=AD.GF(=2SAGF)
=> \(AG^2\cdot AF^2=AD^2\cdot GF^2\left(1\right)\)
Ta chia cả 2 vế củ (1) cho \(AD^2\cdot AG^2\cdot AF^2\)
Mà \(AG^2+AF^2=GF^2\)(định lý Pytago)
\(\Rightarrow\frac{1}{AD^2}=\frac{1}{AG^2}+\frac{1}{AF^2}\Rightarrow\frac{1}{\left(\frac{1}{2}AB\right)^2}=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}AP\right)^2}+\frac{1}{AF^2}\)
\(\Rightarrow\frac{4}{AB^2}=\frac{4}{AP^2}+\frac{1}{AF^2}\Rightarrow\frac{1}{AB^2}=\frac{1}{AP^2}+\frac{1}{4AF^2}\)
a: Xét tứ giác MFCE có
\(\widehat{MFC}=\widehat{MEC}=\widehat{FCE}=90^0\)
Do đó: MFCE là hình bình hành
Suy ra: MC=EF
## Bài 1:
**a) Chứng minh rằng các tam giác AMQ, ANP vuông cân.**
* **Tam giác AMQ:**
* Ta có: $\widehat{MAQ} = 90^\circ$ (do d vuông góc với AM)
* $\widehat{AMQ} = \widehat{ABM}$ (cùng phụ với $\widehat{AMB}$)
* Mà $\widehat{ABM} = 45^\circ$ (do ABCD là hình vuông)
* Nên $\widehat{AMQ} = 45^\circ$
* Vậy tam giác AMQ vuông cân tại A.
* **Tam giác ANP:**
* Ta có: $\widehat{NAP} = 90^\circ$ (do d vuông góc với AM)
* $\widehat{ANP} = \widehat{ADN}$ (cùng phụ với $\widehat{AND}$)
* Mà $\widehat{ADN} = 45^\circ$ (do ABCD là hình vuông)
* Nên $\widehat{ANP} = 45^\circ$
* Vậy tam giác ANP vuông cân tại A.
**b) Gọi giao điểm của QM và NP là R. Gọi I, K là trung điểm của đoạn thẳng MQ, PN. Chứng minh rằng AIKR là hình chữ nhật**
* **Chứng minh AIKR là hình bình hành:**
* Ta có: I là trung điểm của MQ, K là trung điểm của PN.
* Nên IK là đường trung bình của hình thang MNPQ.
* Do đó IK // MN // PQ.
* Mà AI // KR (do AI là đường trung bình của tam giác AMQ, KR là đường trung bình của tam giác ANP)
* Vậy AIKR là hình bình hành.
* **Chứng minh AIKR là hình chữ nhật:**
* Ta có: $\widehat{IAK} = 90^\circ$ (do AI // KR và $\widehat{IAK}$ là góc vuông)
* Vậy AIKR là hình chữ nhật.
**c) Chứng minh rằng bốn điểm K,B,I,D thẳng hàng**
* **Chứng minh KB // ID:**
* Ta có: KB là đường trung bình của tam giác BCP, ID là đường trung bình của tam giác DQN.
* Nên KB // CP // DQ // ID.
* Vậy KB // ID.
* **Chứng minh KB = ID:**
* Ta có: KB = 1/2 CP, ID = 1/2 DQ.
* Mà CP = DQ (do ABCD là hình vuông)
* Nên KB = ID.
* **Kết luận:**
* Do KB // ID và KB = ID nên KBID là hình bình hành.
* Mà $\widehat{KBI} = 90^\circ$ (do KB // CP và $\widehat{KBI}$ là góc vuông)
* Vậy KBID là hình chữ nhật.
* Do đó bốn điểm K,B,I,D thẳng hàng.
## Bài 2:
**a) Chứng minh rằng BF = CE; BF ⊥ CE**
* **Chứng minh BF = CE:**
* Ta có: ABDE và ACGF là hình vuông.
* Nên AB = AE, AC = AF.
* Do đó BF = BC + CF = AB + AC = AE + AF = CE.
* **Chứng minh BF ⊥ CE:**
* Ta có: $\widehat{ABF} = 90^\circ$ (do ABDE là hình vuông)
* $\widehat{ACE} = 90^\circ$ (do ACGF là hình vuông)
* Nên $\widehat{ABF} + \widehat{ACE} = 180^\circ$.
* Do đó BF ⊥ CE.
**b) Tam giác MO O1 2 là tam giác vuông cân**
* **Chứng minh MO O1 2 là tam giác vuông:**
* Ta có: O1 là tâm hình vuông ABDE, O2 là tâm hình vuông ACGF.
* Nên O1O2 là đường trung trực của đoạn thẳng BC.
* Do đó MO1 = MO2.
* Mà $\widehat{MO1O2} = 90^\circ$ (do O1O2 là đường trung trực của BC)
* Vậy tam giác MO O1 2 là tam giác vuông tại O.
* **Chứng minh MO O1 2 là tam giác cân:**
* Ta có: MO1 = MO2 (chứng minh trên)
* Vậy tam giác MO O1 2 là tam giác cân tại M.
* **Kết luận:**
* Tam giác MO O1 2 là tam giác vuông cân tại O.