Question

[Đặng Thị Phương Anh]

Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B

AB=a, AA'=2a, A'C=3a. Gọi M là trung điểm của đoạn A'C'; I là giao điểm của AM và A'C.

Tính theo a thể tích của khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)

Answer 1

[Võ Đông Anh Tuấn]

Vì lăng trụ đứng ABC.A'B'C' nên A'A _|_ AC 
Xét tam giác A'AC có góc A'AC là góc vuông : 
Áp dụng định lý Pytago : 
A'C² = A'A² + AC² 
<=> AC² = A'C² - A'A² 
<=> AC² = (3a)² - (2a)² 
<=> AC² = 9a² - 4a² 
<=> AC² = 5a² 
<=> AC = a√5 

Xét tam giác ABC vuông tại B : 
Áp dụng định lý Pytago : 
AC² = AB² + BC² 
<=> BC² = AC² - AB² 
<=> BC² = 5a² - a² 
<=> BC² = 4a² 
<=> BC = 2a 

S ABC = (AB.BC)/2 = (a.2a)/2 = a² 

Từ I hạ đường IH vuông góc AC , gọi M' là trung điểm của AC ; Gọi I' là giao điểm của M'C' với A'C 
Xét tứ giác MC'M'A : 
* Có MC' // AM' ( Do A'C' // AC của hình chữ nhật A'C'CA ) 
* Có MC' = AM' ( Do A'C' = AC của hình chữ nhật A'C'CA ) 
=> MC'M'A là hình bình hành 
=> AM // M'C' 

Xét tam giác A'CI' 
* M là trung điểm A'C' 
* MI // C'I' ( Do AM // M'C' ( cmt ) ) 
=> I là trung điểm A'I' ( Tính chất đường trung bình ) 
=> A'I = II' (1) 

Xét tam giác A'MI và I'CM' 
* Có góc C'A'C = A'CA ( So le trong ) 
* A'M = M'C 
* Có góc A'MA = góc C'M'C ( Do AM // M'C ) 
=> tam giác A'MI = tam giác I'CM' ( g - c - g ) 
=> I'C = A'I (2) 

Từ (1) ; (2) = > A'I = II' = I'C 
=> IC = 2a 
Từ đó AH = AC/3 = a√5 / 3 

Xét tam giác A'AC và tam giác IHC 
* Chung góc C 
* Góc A'AC = Góc IHC = 90° 
=> Tam giác A'AC ~ Tam giác IHC ( g - g ) 
=> A'C / IC = AA' / IH 
<=> IH = AA'.IC / A'C 
<=> IH = 2a.2a / 3a = 4a/3 

V IABC = 1/3.S ABC.IH = 1/3.a².4a/3 = 4a^3 / 9 

b) Nối HB 
Xét tam giác ABC vuông tai B 
cosBAC = a/a√5 = 1/√5 = √5/5 

Xét tam AHB ; 
HB² = AH² + AB² - 2.AH.AB.cosBAC 
<=> HB² = (a√5/3)² + a² - 2.(a√5/3).a.√5/5 
<=> HB² = 8a²/9 
<=> HB = 2a√2 / 3 

Xét tam giác IHB vuông tại H 
Áp dụng định lý Pytago : 
IB² = IH² + HB² 
<=> IB² = (4a/3)² + (2a√2/3)² 
<=> IB² = 8a/3 
<=> IB = 2a√6 / 3 

Xét tam giác IBC có IB = 2a√6/3 ; IC = BC = 2a 
Áp dụng công thức Hê-rộng : 
p = (a + b + c)/2 = (2a√6/3 + 2a + 2a )/2 = a√6/3 + 2a = (6 + √6)a/3 

S = √p(p - a)(p - b)(p - c) 
S = √[(6 + √6)a(6 - √6)a.√6.a.√6.a ]/81 
S = √[6(36 - 6)a^4 / 81] 
S = √(180a^4 / 81) 
S = √20a^4 / 9 
S = 2a²√5 / 3 

Từ đó d(A ; IBC ) = V IABC . 3 / S IBC = ( 4a^3 / 9 ).3 / (2a²√5 / 3 ) = 2a√5 / 5 
Vì lăng trụ đứng ABC.A'B'C' nên A'A _|_ AC 
Xét tam giác A'AC có góc A'AC là góc vuông : 
Áp dụng định lý Pytago : 
A'C² = A'A² + AC² 
<=> AC² = A'C² - A'A² 
<=> AC² = (3a)² - (2a)² 
<=> AC² = 9a² - 4a² 
<=> AC² = 5a² 
<=> AC = a√5 

Xét tam giác ABC vuông tại B : 
Áp dụng định lý Pytago : 
AC² = AB² + BC² 
<=> BC² = AC² - AB² 
<=> BC² = 5a² - a² 
<=> BC² = 4a² 
<=> BC = 2a 

S ABC = (AB.BC)/2 = (a.2a)/2 = a² 

Từ I hạ đường IH vuông góc AC , gọi M' là trung điểm của AC ; Gọi I' là giao điểm của M'C' với A'C 
Xét tứ giác MC'M'A : 
* Có MC' // AM' ( Do A'C' // AC của hình chữ nhật A'C'CA ) 
* Có MC' = AM' ( Do A'C' = AC của hình chữ nhật A'C'CA ) 
=> MC'M'A là hình bình hành 
=> AM // M'C' 

Xét tam giác A'CI' 
* M là trung điểm A'C' 
* MI // C'I' ( Do AM // M'C' ( cmt ) ) 
=> I là trung điểm A'I' ( Tính chất đường trung bình ) 
=> A'I = II' (1) 

Xét tam giác A'MI và I'CM' 
* Có góc C'A'C = A'CA ( So le trong ) 
* A'M = M'C 
* Có góc A'MA = góc C'M'C ( Do AM // M'C ) 
=> tam giác A'MI = tam giác I'CM' ( g - c - g ) 
=> I'C = A'I (2) 

Từ (1) ; (2) = > A'I = II' = I'C 
=> IC = 2a 
Từ đó AH = AC/3 = a√5 / 3 

Xét tam giác A'AC và tam giác IHC 
* Chung góc C 
* Góc A'AC = Góc IHC = 90° 
=> Tam giác A'AC ~ Tam giác IHC ( g - g ) 
=> A'C / IC = AA' / IH 
<=> IH = AA'.IC / A'C 
<=> IH = 2a.2a / 3a = 4a/3 

V IABC = 1/3.S ABC.IH = 1/3.a².4a/3 = 4a^3 / 9 

b) Nối HB 
Xét tam giác ABC vuông tai B 
cosBAC = a/a√5 = 1/√5 = √5/5 

Xét tam AHB ; 
HB² = AH² + AB² - 2.AH.AB.cosBAC 
<=> HB² = (a√5/3)² + a² - 2.(a√5/3).a.√5/5 
<=> HB² = 8a²/9 
<=> HB = 2a√2 / 3 

Xét tam giác IHB vuông tại H 
Áp dụng định lý Pytago : 
IB² = IH² + HB² 
<=> IB² = (4a/3)² + (2a√2/3)² 
<=> IB² = 8a/3 
<=> IB = 2a√6 / 3 

Xét tam giác IBC có IB = 2a√6/3 ; IC = BC = 2a 
Áp dụng công thức Hê-rộng : 
p = (a + b + c)/2 = (2a√6/3 + 2a + 2a )/2 = a√6/3 + 2a = (6 + √6)a/3 

S = √p(p - a)(p - b)(p - c) 
S = √[(6 + √6)a(6 - √6)a.√6.a.√6.a ]/81 
S = √[6(36 - 6)a^4 / 81] 
S = √(180a^4 / 81) 
S = √20a^4 / 9 
S = 2a²√5 / 3 

Từ đó d(A ; IBC ) = V IABC . 3 / S IBC = ( 4a^3 / 9 ).3 / (2a²√5 / 3 ) = 2a√5 / 5 

Answer 2

[Nguyễn Quang Thắng]

kho hieu qua