K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

1 tháng 3 2022

gfvfvfvfvfvfvfv555

18 tháng 2 2020

A B C D J M E G O I H N K F

+) Kẻ: AJ // CI //EF; I; J thuộc BD và M thuộc EF

Xét \(\Delta\)BAJ  có: FM // AJ 

=> \(\frac{BA}{BF}=\frac{BJ}{BM}\)

Xét  \(\Delta\)BCI có: ME // IC 

=> \(\frac{BC}{BE}=\frac{BI}{BM}\)

Từ hai điều trên => \(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=\frac{BJ}{BM}+\frac{BI}{BM}=\frac{BI+BJ}{BM}\)(1)

Xét \(\Delta\)AJO và \(\Delta\)CIO  có:

OA = OC ( ABCD là hình bình hành) 

^AOJ = ^COI ( đối đỉnh)

^AJO = ^CIO ( AJ // CI , so le trong )

=> \(\Delta\)AJO = \(\Delta\)CIO ( g-c-g)

=> JO = IO 

KHi đó BI + BJ = BO + OI + BO - JO  = 2 BO +  (IO - JO) = 2 BO = 2.2. BM = 4BM ( vì M là trung điểm BO )

=> BI + BJ = 4BM Thế vào (1) 

=> \(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=\frac{4BM}{BM}=4\)(2)

+) Kẻ BH // BG //FK  với H; G thuộc AC

Chứng minh tương tự như trên ta suy ra: \(\frac{BA}{AF}+\frac{AD}{AK}=4\)(3)

Cộng (2) + (3) vế theo vế:

\(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}+\frac{BA}{AF}+\frac{AD}{AK}=8\)mà AD = BC

=> \(AB\left(\frac{1}{BF}+\frac{1}{AF}\right)+BC\left(\frac{1}{BE}+\frac{1}{AK}\right)=8\)(4)

Mặt khác: \(\frac{1}{BF}+\frac{1}{AF}=\frac{1^2}{BF}+\frac{1^2}{AF}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{BF+AF}=\frac{4}{AB}\) và \(\frac{1}{BE}+\frac{1}{AK}\ge\frac{4}{BE+AK}\)

KHi đó: \(8\ge AB.\frac{4}{AB}+BC.\frac{4}{BE+AK}\)

<=> \(BE+AK\ge BC\)

Dấu "=" xảy ra <=> BF = AF  và BE = AK 

Hay F là trung điểm AB.

5 tháng 3 2020

Qua A,C kẻ các đ/thẳng //EF cắt BD tại K,H

Xét tgiac AOK=COH ( OA=OC,AK//HC)

Suy ra OH=OK

Có AK//HC//EF theo Thales có

\(\frac{BA}{BF}=\frac{BK}{BM}\left(1\right),\frac{BC}{BE}=\frac{BH}{BM}\left(2\right)\)

Cộng (1) và (2) có \(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=\frac{BK+BH}{BM}=\frac{BO-OK+BO+OH}{BM}=\frac{2BO}{BM}=4\)

18 tháng 2 2020

Câu hỏi của Hồ Văn Đạt - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

18 tháng 2 2020

Câu hỏi của Hồ Văn Đạt - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Y
3 tháng 2 2019

A B C D F N M E K O

+ Từ đẳng thức \(\dfrac{BA}{BF}+\dfrac{BC}{BE}=4\) ta có thể viết được 1 đẳng thức

tương tự : \(\dfrac{AB}{AF}+\dfrac{AD}{AK}=4\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AF}+\dfrac{AD}{AK}+\dfrac{BA}{BF}+\dfrac{BC}{BE}=8\)

\(\Rightarrow AB\left(\dfrac{1}{AF}+\dfrac{1}{BF}\right)+BC\left(\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{BE}\right)=8\)

+ Áp dụng bđt \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\forall a,b>0\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\) ta có :

\(AB\left(\dfrac{1}{AF}+\dfrac{1}{BF}\right)+BC\left(\dfrac{1}{AK}+\dfrac{1}{BE}\right)\)

\(\ge AB\cdot\dfrac{4}{AF+BF}+BC\cdot\dfrac{4}{AK+BE}\)

\(\Rightarrow8\ge AB\cdot\dfrac{4}{AB}+4\cdot\dfrac{BC}{AK+BE}\)

\(\Rightarrow8\ge4+4\cdot\dfrac{BC}{AK+BE}\)

\(\Rightarrow4\ge4\cdot\dfrac{BC}{AK+BE}\)

\(\Rightarrow1\ge\dfrac{BC}{AK+BE}\) \(\Rightarrow AK+BE\ge BC\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}AF=BF\\AK=BE\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\) F là trung điểm của AB

* CM : \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\forall a,b>0\)

+ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{ab}\ge\dfrac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)

Vì bđt cuối luôn đúng mà các phép biến đổi trên là tương đương

nên bđt đã cho luôn đúng

Y
4 tháng 2 2019

A B C D O F M N K E H I

+ Kẻ AH // FE // CI \(\left(H,I\in BD\right)\)

+ ΔAOH = ΔCOI ( g.c.g )

=> OH = OI

=> BH + BI = BH + BO + OI

= BH + OH + BO = 2BO = 4BM

+ Xét ΔABH có AH // FM theo định lý Ta-lét ta có :

\(\dfrac{BA}{BF}=\dfrac{BH}{BM}\) (1)

+ Xét ΔBCI có CI // ME theo định lý Ta-lét ta có :

\(\dfrac{BC}{BE}=\dfrac{BI}{BM}\) (2)

+ Từ (1) và (2) => \(\dfrac{BA}{BF}+\dfrac{BC}{BE}=\dfrac{BH}{BM}+\dfrac{BI}{BM}=\dfrac{BH+BI}{BM}=\dfrac{4BM}{BM}=4\)