Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left\{{}\begin{matrix}ax+x+y=4\\ax+y=2a\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ax+y+x=4\\ax+y=2a\end{matrix}\right.\)
Thế pt dưới vào pt trên ta có:
\(2a+x=4\Rightarrow x=4-2a\)
Thế vào pt dưới: \(y=2a-ax=2a-a\left(4-2a\right)=2a^2-2a\)
\(\Rightarrow\) Hệ luôn có cặp nghiệm duy nhất
Lại có \(x+y=4-2a+2a^2-2a=2a^2-4a+4\)
\(=2a^2-4a+2+2=2\left(a-1\right)^2+2\ge2\) \(\forall a\) (đpcm)
Lời giải:
Câu 2:
Ta có: \(\left\{\begin{matrix} (a+1)x+y=4(1)\\ ax+y=2a(2)\end{matrix}\right.\)
Lấy \((1)-(2)\Rightarrow x=4-2a\)
\(\Rightarrow y=2a-ax=2a-a(4-2a)=2a^2-2a\)
Ta thấy ứng với mỗi giá trị của $a$ ta thu được một giá trị tương ứng duy nhất của \((x,y)=(4-2a, 2a^2-2a)\)
nên hệ luôn có nghiệm duy nhất.
Có: \(x+y=4-2a+2a^2-2a=2a^2-4a+4=2(a-1)^2+2\)
Ta thấy \((a-1)^2\geq 0\forall a\in\mathbb{R}\Rightarrow x+y=2(a-1)^2+2\geq 2\)
Ta có đpcm.
Từ pt (1) ta có: y=ax-2 thế vào pt (2) ta được:
\(x+a\left(ax-2\right)=3\)
\(\Leftrightarrow x+a^2x-2a=3\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+1\right)x=2a+3\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{2a+3}{a^2+1}\) (Vì \(a^2+1\ne0\))
\(\Rightarrow y=a\cdot\dfrac{2a+3}{a^2+1}-2=\dfrac{3a-2}{a^2+1}\)
Vậy với mọi a hệ có nghiệm duy nhất là \(\left(x;y\right)=\left(\dfrac{2a+3}{a^2+1};\dfrac{3a-2}{a^2+1}\right)\)