Question

[phạm khôi]

cho hệ phương trình \(\hept{\begin{cases}4x-3y=m-10\\x+2y=3m+3\end{cases}}\) m là tham số

tìm m để hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất (x,y) thỏa mãn \(x^2+y^2\) đạt giá trị nhỏ nhất 

Answer 1

[ST]

Đk để hpt luôn có nghiệm duy nhất (x;y) \(\frac{4}{1}\ne\frac{3}{2}\) (luôn đúng)

\(HPT\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x-3y=m-10\\4x+8y=12m+12\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}11y=11m+22\\x+2y=3m+3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{11m+22}{11}\\x=3m+3-2y\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{11m+22}{11}\\x=\frac{33m+33-22m-44}{11}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=\frac{11m+22}{11}\\x=\frac{11m-11}{11}\end{cases}}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=m-1\\y=m+2\end{cases}}\)

Vậy vơi mọi m thì hpt có nghiệm duy nhất (x;y)=(m-1;m+2)

Ta có:\(x^2+y^2=\left(m-1\right)^2+\left(m+2\right)^2\)

\(=m^2-2m+1+m^2+4m+4\)

\(=2m^2+2m+5=2\left(m^2+m+\frac{5}{2}\right)\)

\(=2\left(m^2+m+\frac{1}{4}+\frac{9}{4}\right)=2\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{9}{2}\ge\frac{9}{2}\)

Để x²+y² nhỏ nhất <=> \(2\left(m+\frac{1}{2}\right)^2\) nhỏ nhất <=> m+1/2=0 <=> m=-1/2