Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1.
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x^2-2x\right)\left(y^2-6y\right)=m\\\left(x^2-2x\right)+\left(y^2-6y\right)=3m\end{matrix}\right.\)
Theo Viet đảo, \(x^2-2x\ge-1\) và \(y^2-6y\ge-9\) là nghiệm của:
\(t^2-3m.t+m=0\) (1)
Hệ đã cho có đúng 3 nghiệm khi và chỉ khi:
TH1: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-1\) và 1 nghiệm \(t_2>-9\)
\(t=-1\Rightarrow1+3m+m=0\Rightarrow m=-\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow t_2=\dfrac{1}{4}\) (thỏa mãn)
TH2: (1) có 1 nghiệm \(t_1=-9\) và 1 nghiệm \(t_2>-1\)
\(t_1=-9\Rightarrow81+27m+m=0\Leftrightarrow m=-\dfrac{81}{28}\)
\(\Rightarrow t_2=\dfrac{9}{28}\) (thỏa mãn)
Vậy \(m=\left\{-\dfrac{1}{4};-\dfrac{81}{28}\right\}\)
2. Pt bậc 2 có nghiệm duy nhất thì nó là nghiệm kép
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta=\left(m+3\right)^2-4\left(2m-1\right)=0\left(vô-nghiệm\right)\\\dfrac{m+3}{2}\le3\end{matrix}\right.\)
Ko tồn tại m thỏa mãn
Hoặc là ngôn ngữ đề bài có vấn đề, ý của người ra đề là "phương trình đã cho có 2 nghiệm, trong đó có đúng 1 nghiệm thỏa mãn \(x\le3\)"?
Lời giải:
\(\left\{\begin{matrix} x+xy+y=2m+1\\ xy(x+y)=m^2+m\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} xy=2m+1-(x+y)\\ xy(x+y)=m^2+m\end{matrix}\right.\Rightarrow [2m+1-(x+y)](x+y)=m^2+m\)
Đặt \(x+y=t\Rightarrow t^2-t(2m+1)+m^2+m=0\)
Để pt có bộ nghiệm (x,y) duy nhất thì $t$ phải là duy nhất. Do đó:
\(\Delta=(2m+1)^2-4(m^2+m)=0\Leftrightarrow 1=0\)
(vô lý)
Do đó không tồn tại m để hệ có bộ nghiệm duy nhất.
Dạng này làm như sau:
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=S\\xy=P\end{matrix}\right.\)
Sau đó biến đổi về phương trình bậc 2 theo ẩn S
Để hệ ban đầu có nghiệm duy nhất thì trước hết phương trình theo ẩn S có nghiệm duy nhất hoặc có 2 nghiệm trong đó có 1 nghiệm không thuộc tập xác định của hệ phương trình theo ẩn S, P. Đây mới chỉ là điều kiện cần.
Sau đó thế các nghiệm của S, P vào hệ rồi giải ra xem thử có nghiệm x, y hay không. Đây là điều kiện đủ. Xong 2 cái này thì mới kết luận là hệ có nghiệm duy nhất với m = ????
Bài 1:
Khi $m=1$ thì HPT trở thành:
\(\left\{\begin{matrix} x-2y=-1\\ 2x+y=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x-4y=-2\\ 2x+y=2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (2x+y)-(2x-4y)=2-(-2)\)
\(\Leftrightarrow 5y=4\Rightarrow y=\frac{4}{5}\)
\(x=\frac{2-y}{2}=\frac{2-\frac{4}{5}}{2}=\frac{3}{5}\)
Vậy ...........
b)
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} mx-2y=m-2\\ y=m+1-2x\end{matrix}\right.\Rightarrow mx-2(m+1-2x)=m-2\)
\(\Leftrightarrow x(m+4)=3m(*)\)
Để HPT ban đầu có bộ nghiệm (x,y) duy nhất thì PT $(*)$ phải có nghiệm $x$ duy nhất. Điều này xảy ra khi $m+4\neq 0$ hay $m\neq -4$
Bài 2:
a)
Khi $m=2$ thì hệ trở thành:
\(\left\{\begin{matrix}
x+2y=1\\
2x+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
2x+4y=2\\
2x+y=1\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow (2x+4y)-(2x+y)=2-1\)
\(\Leftrightarrow 3y=1\Rightarrow y=\frac{1}{3}\)
Khi đó: \(x=1-2y=1-2.\frac{1}{3}=\frac{1}{3}\)
Vậy HPT có bộ nghiệm duy nhất $(x,y)=(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$
b)
HPT \(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1-my\\ mx+y=1\end{matrix}\right.\Rightarrow m(1-my)+y=1\)
\(\Leftrightarrow y(1-m^2)=1-m(*)\)
Để HPT ban đầu có nghiệm duy nhất thì PT $(*)$ cũng phải có nghiệm duy nhất. Điều này xảy ra khi \(1-m^2\neq 0\Leftrightarrow m\neq \pm 1\)
Khi đó:
\(y=\frac{1-m}{1-m^2}=\frac{1}{1+m}\)
\(x=1-my=1-\frac{m}{m+1}=\frac{1}{m+1}\)
Vậy HPT có nghiệm \((x,y)=(\frac{1}{m+1}, \frac{1}{m+1})\)
Để \(x,y>0\Leftrightarrow \frac{1}{m+1}>0\Leftrightarrow m>-1\)
Kết hợp những điều vừa tìm được suy ra $m>-1$ và $m\neq 1$ thì thỏa mãn.
y = 4- x
Ròi bạn thay vào phương trình (1) làm như bình thường