Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có
Để hàm số có hai cực trị kh y’=0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ 2 - m ≠ - 1 ⇔ m ≠ 3
● Nếu -1<2-m hay m<3,
ycbt 
● Nếu 2-m<-1 hay m>3, ycbt
Vậy m ∈ - 1 ; 3 ∪ 3 ; 4
Chọn A.
\(y'=4x^3+12mx^2+6\left(m+1\right)x=2x\left[2x^2+6mx+3\left(m+1\right)\right]\)
Hàm có cực tiểu mà ko có cực đại khi và chỉ khi \(y'=0\) có đúng 1 nghiệm đơn
TH1: \(2x^2+6mx+3\left(m+1\right)=0\) có nghiệm \(x=0\)
\(\Leftrightarrow m=-1\)
TH2: \(2x^2+6mx+3\left(m+1\right)=0\) có ít hơn 2 nghiệm
\(\Leftrightarrow\Delta'=9m^2-6\left(m+1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1-\sqrt{7}}{3}\le m\le\dfrac{1+\sqrt{7}}{3}\)
Ta có : \(y'=3x^2-6x+m^2\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow3x^2-6x+m^2=0\left(1\right)\)
Hàm số có cực trị \(\Leftrightarrow\left(1\right)\) có 2 nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=3\left(3-m^2\right)>0\Leftrightarrow-\sqrt{3}< m< \sqrt{3}\)
Phương trình đường thẳng d' đi qua các điểm cực trị là : \(y=\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x+\frac{1}{3}m^2\)
=> Các điểm cực trị là :
\(A\left(x_1;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_1+\frac{1}{3}m^2+3m\right);B\left(x_2;\left(\frac{2}{3}m^2-2\right)x_2+\frac{1}{3}m^2+3m\right);\)
Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng d và d' :
\(\Rightarrow I\left(\frac{2m^2+6m+15}{15-4m^2};\frac{11m^2+3m-30}{15-4m^2}\right)\)
A và B đối xứng đi qua d thì trước hết \(d\perp d'\Leftrightarrow\frac{2}{3}m^2-2=-2\Leftrightarrow m=0\)
Khi đó \(I\left(1;-2\right);A\left(x_1;-2x_1\right);B\left(x_2;-2x_2\right)\Rightarrow I\) là trung điểm của AB=> A và B đối xứng nhau qua d
Vậy m = 0 là giá trị cần tìm
\(\Leftrightarrow y'=0\)
có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(x_1\)<\(x_2\)<1
\(\Leftrightarrow\)\(\begin{cases}\Delta'=4m^2-m-5>0\\f\left(1\right)=-5m+7>0\\\frac{S}{2}=\frac{2m-1}{3}<1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{5}{4}\)<m<\(\frac{7}{5}\)
Ta có \(y'=3x^2-3\left(m-2\right)x-3\left(m-1\right)\), với mọi \(x\in R\)
\(y'=0\Leftrightarrow x^2-\left(m-2\right)x-m+1=0\Leftrightarrow x_1=-1;x_2=m-1\)
Chú ý rằng với m > 0 thì \(x_1< x_2\). Khi đó hàm số đạt cực đại tại \(x_1=-1\) và đạt cực tiểu tại \(x_2=m-1\). Do đó :
\(y_{CD}=y\left(-1\right)=\frac{3m}{2};y_{CT}=y\left(m-1\right)=-\frac{1}{2}\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2+1\)
Từ giả thiết ta có \(2.\frac{3m}{2}-\frac{1}{2}\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2+1\Leftrightarrow6m-6-\left(m+2\right)\left(m-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(m^2+m-8\right)=0\Leftrightarrow m=1;m=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}\)
Đối chiếu yêu cầu m > 0, ta có giá trị cần tìm là \(m=1;m=\frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}\)
- Với \(x< 3\Rightarrow f'\left(x\right)=6x^2-6\left(m+1\right)x+6m=6\left(x-1\right)\left(x-m\right)\)
\(f'\left(x\right)=0\Rightarrow6\left(x-1\right)\left(x-m\right)=0\left(1\right)\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=1\\x=m\end{matrix}\right.\) có tối đa 2 cực trị khi \(x< 3\)
- Với \(x>3\Rightarrow f'\left(x\right)=n\) là hằng số \(\Rightarrow f\left(x\right)\) ko có cực trị khi \(x>3\)
\(\Rightarrow\) Hàm có đúng 3 điểm cực trị khi và chỉ khi nó đồng thời thỏa mãn:
ĐK1: \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm pb khi \(x< 3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< 3\\m\ne1\end{matrix}\right.\)
ĐK2: \(x=3\) là 1 cực trị của hàm số
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) liên tục tại \(x=3\) đồng thời đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\)
\(\lim\limits_{x\rightarrow3^+}f\left(x\right)=\lim\limits_{x\rightarrow3^-}f\left(x\right)\Leftrightarrow3n+46=25-9m\Rightarrow n=-3m-7\) (2)
Mặt khác do 2 nghiệm của (1) đều nhỏ hơn 3 \(\Rightarrow\) tại lân cận trái của \(x=3\) đạo hàm luôn có dấu dương
\(\Rightarrow\) Để đạo hàm đổi dấu khi đi qua \(x=3\) thì \(f'\left(3^+\right)=n< 0\)
Thế vào (2) \(\Rightarrow-3m-7< 0\Rightarrow m>-\dfrac{7}{3}\)
\(\Rightarrow-\dfrac{7}{3}< m< 3\Rightarrow\sum m=0\)
Bài 1:
ĐTHS \(y=x^3+3mx+1\) có hai điểm cực trị khi \(y'=3x^2+3m=0\Leftrightarrow x^2+m=0\) có hai nghiệm phân biệt \(\Leftrightarrow m<0\)
Hoành độ của hai điểm cực trị chính là hai nghiệm của PT \(x^2+m=0\)
Khi đó ta có \(y=x^3+3mx+1=x(x^2+m)+2mx+1=2mx+1\)
Do đó \(d: y=2xm+1\) là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
\(\Rightarrow d(M,d)=\frac{|1-3|}{\sqrt{(2m)^2+1}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\Leftrightarrow m^2=1\rightarrow m=-1\) (do \(m<0\))
Vậy $m=-1$
Bài 2:
ĐTHS trên có hai điểm cực trị khi \(y'=6x^2+6(m-1)x+6(m-2)=0\)
\(\Leftrightarrow 6[x+(m-2)](x+1)=0\) có hai nghiệm phân biệt.
Khi đó, chỉ cần \(m\neq 3\)
Từ pt trên ta thu được hai nghiệm \(x=2-m;x=-1\)
Điểm CĐ và CT nằm trong khoảng \((-2,3)\) suy ra
\(\left\{\begin{matrix} -1\in (-2;3)\\ 2-m\in (-2;3)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 4>m>-1\)
Vậy \(4>m>-1\) và \(m\neq 3\)
Bài 3:
Ta có \(y'=x^2-2(m+1)x+2m+1=0\)
\(\Leftrightarrow [x-(2m+1)](x-1)=0\)
ĐTHS có cực trị khi PT trên có hai nghiệm phân biệt, tức là \(m\neq 0\)
Khi đó, hai nghiệm thu được là \(1\) và \(2m+1\) .
Hiển nhiên các điểm cực trị của ĐTHS là \((1;m-1);\left(2m+1,\frac{-4m^3}{3}+m-1\right)\)
Điểm cực trị của ĐTHS thuộc trục hoành thì tung độ bằng $0$
Nếu \((1;m-1)\) là điểm cực đại thì \(\left\{\begin{matrix} m-1=0\\ m-1>\frac{-4m^3}{3}+m-1\end{matrix}\right.\Rightarrow m=1\)
Nếu \(\left (2m+1,\frac{-4m^3}{3}+m-1\right)\) là điểm cực đại thì
\(\left\{\begin{matrix} \frac{-4}{3}m^3+m-1=0\\ m-1<\frac{-4m^3}{3}+m-1\end{matrix}\right.\Rightarrow m<0\) (không thỏa mãn)
Vậy $m=1$