Question

[Pham Trong Bach]

Cho hàm số y = 1 3 m x 3 − 1 2 3 m + 2 x 2 + 5 m − 1 x + 2018 . Tìm số các giá trị nguyên âm của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên khoảng  − 1 ; 2

A. Vô số

B. 0

C. 1.

D. 2

Answer 1

[Cao Minh Tâm]

Đáp án B

Ta có y ' = m x 2 − 3 m + 2 x + 5 m − 1

Để hàm số đồng biến trên khoảng   − 1 ; 2 thì  y ' ≥ 0, ∀ x ∈ − 1 ; 2 .Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm

Cách 1:

Do ta chỉ xét giá trị m nguyên âm nên m x 2 − 3 m + 2 x + 5 m − 1 = 0 là phương trình bậc hai. Đặt  f x = m x 2 − 3 m + 2 x + 5 m − 1

TH1: Hàm số có hai điểm cực trị

Để thỏa mãn   y ' ≥ 0, ∀ x ∈ 0 ; 2 thì phương trình   y ' = 0 có hai nghiệm  x 1   ;  x 2   thỏa mãn x 1 ≤ − 1 < 2 ≤ x 2  

⇔ m . f − 1 ≤ 0 m . f 2 ≤ 0 ⇔ m . m + 3 m + 2 + 5 m − 1 ≤ 0 m . 4 m − 2 3 m + 2 + 5 m − 1 ≤ 0

⇔ m 9 m + 1 ≤ 0 m 3 m − 5 ≤ 0 ⇔ m ≥ − 1 9 m ≥ 5 3 ⇔ m ≥ 5 3

(do m nguyên âm nên không thỏa mãn)

TH2: Hàm số không có điểm cực trị

Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thi Δ < 0 m > 0 (do m nguyên âm nên không thỏa mãn)

Vậy ta chọn B.

Cách 2:

y ' ≥ 0 ⇔ m x 2 − 3 m + 2 x + 5 m − 1 ≥ 0 ⇔ m x 2 − 3 x + 5 ≥ 2 x + 1 ⇔ m ≥ 2 x + 1 x 2 − 3 x + 5

(do x 2 − 3 x + 5 > 0 ∀ x )

Đặt g x = 2 x + 1 x 2 − 3 x + 5 . Ta có  g ' x = − 2 x 2 − 2 x + 13 x 2 − 3 x + 5 2 > 0 ∀ x ∈ − 1 ; 2 . Vậy g x  đồng biến trên − 1 ; 2

Để  m ≥ g x ∀ x ∈ − 1 ; 2   thì   m ≥ max x ∈ − 1 ; 2 g x = g 2 = 5 3