Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có \(f'\left(x\right)=3ax^2+2bx+c;f"\left(x\right)=6ax+2b\)
Hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực tiểu tại \(x=0\) khi và chỉ khi
\(\begin{cases}f'\left(0\right)=0\\f"\left(0\right)>0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}c=0\\2b>0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}c=0\\b>0\end{cases}\left(1\right)\)
Hàm số \(f\left(x\right)\) đạt cực đại tại \(x=1\) khi và chỉ khi \(\begin{cases}f'\left(1\right)=0\\f"\left(1\right)< 0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}3a+2b+c=0\\6a+2b< 0\end{cases}\)
\(\begin{cases}f\left(0\right)=0\\f\left(1\right)=1\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}d=0\\a+b+c+d=1\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}d=0\\a+b+c+d=1\end{cases}\) (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra \(a=-2;b=3;c=0;d=0\)
Kiểm tra lại \(f\left(x\right)=-2x^3+3x^2\)
Ta có \(f'\left(x\right)=-6x^2+6x;f"\left(x\right)=-12x+6\)
\(f"\left(0\right)=6>0\), hàm số đạt cực tiểu tại \(x=0\)
\(f"\left(1\right)=-6< 0\), hàm số đạt cực đại tại \(x=1\)
Vậy \(a=-2;b=3;c=0;d=0\)
Câu 1:
\(\int\limits^3_0\left(f'\left(x\right)+1\right)\sqrt{x+1}dx=\int\limits^3_0f'\left(x\right)\sqrt{x+1}dx+\int\limits^3_0\sqrt{x+1}dx\)
\(=\int\limits^3_0f'\left(x\right)\sqrt{x+1}dx+\frac{14}{3}=\frac{302}{15}\Rightarrow\int\limits^1_0f'\left(x\right)\sqrt{x+1}dx=\frac{232}{15}\)
Ta có:
\(I=\int\limits^3_0\frac{f\left(x\right)dx}{\sqrt{x+1}}\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=f\left(x\right)\\dv=\frac{dx}{\sqrt{x+1}}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=f'\left(x\right)dx\\v=2\sqrt{x+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I=2f\left(x\right)\sqrt{x+1}|^3_0-2\int\limits^3_0f'\left(x\right)\sqrt{x+1}dx\)
\(=4f\left(3\right)-2f\left(0\right)-2.\frac{232}{15}\)
\(=2\left(2f\left(3\right)-f\left(0\right)\right)-\frac{464}{15}=36-\frac{464}{15}=\frac{76}{15}\)
Câu 2:
\(I_1=\int\limits^3_1\frac{xf'\left(x\right)}{x+1}dx=0\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=\frac{x}{x+1}\\dv=f'\left(x\right)dx\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}dx\\v=f\left(x\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_1=\frac{xf\left(x\right)}{x+1}|^3_1-\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}=\frac{3.3}{3+1}-\frac{1.3}{1+1}-\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}dx=\frac{3}{4}-\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}dx=0\)
\(\Rightarrow\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}dx=\frac{3}{4}\)
Ta có:
\(I=\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)+lnx}{\left(x+1\right)^2}dx=\int\limits^3_1\frac{f\left(x\right)}{\left(x+1\right)^2}dx+\int\limits^3_1\frac{lnx}{\left(x+1\right)^2}dx=\frac{3}{4}+I_2\)
Xét \(I_2=\int\limits^3_1\frac{lnx}{\left(x+1\right)^2}dx\Rightarrow\) đặt \(\left\{{}\begin{matrix}u=lnx\\dv=\frac{1}{\left(x+1\right)^2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}du=\frac{dx}{x}\\v=\frac{-1}{x+1}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow I_2=\frac{-lnx}{x+1}|^3_1+\int\limits^3_1\frac{dx}{x\left(x+1\right)}=-\frac{1}{4}ln3+\int\limits^1_0\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)dx\)
\(=-\frac{1}{4}ln3+ln\left(\frac{x}{x+1}\right)|^3_1=-\frac{1}{4}ln3+ln\frac{3}{4}-ln\frac{1}{2}=\frac{3}{4}ln3-ln2\)
\(\Rightarrow I=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}ln3-ln2\)
\(f\left(x\right)=cosx\Rightarrow f\left(f\left(\frac{\pi}{2}\right).\pi\right)=cos0=1\)
