Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
`f'(x) = (x^2)'e^x + x^2.(e^x)'`
`= 2xe^x + x^2.e^x`
`= (2x + x^2).e^x`
Tính đạo hàm lần 2 của f(x):
`f''(x) = ((2x + x^2).e^x)'`
`= (2x + x^2)'.e^x + (2x + x^2).(e^x)'`
`= (2 + 2x).e^x + (2x + x^2).e^x`
`= (2 + 4x + x^2).e^x`
Ta thay x = 0 vào công thức trên:
`f''(0) = (2 + 4.0 + 0^2).e^0`
`= 2.1`
`= 2`
Vậy, f''(0) = 2.
• Xét hàm số \(f\left( x \right) = 2x - \sin x\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).
Vậy hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\).
• Xét hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \)
ĐKXĐ: \(x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1\)
Hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \) có tập xác định \(D = \left[ {1; + \infty } \right)\).
Hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \) là hàm căn thức nên liên tục trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1} = \sqrt {1 - 1} = 0 = g\left( 1 \right)\)
Do đó hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \) liên tục tại điểm \({x_0} = 1\).
Vậy hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 1} \) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\).
• Xét hàm số \(y = f\left( x \right).g\left( x \right) = \left( {2x - \sin x} \right)\sqrt {x - 1} \)
Do hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) đều liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left[ {1; + \infty } \right)\) nên hàm số \(y = f\left( x \right).g\left( x \right)\) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {1; + \infty } \right)\).
• Xét hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{2x - \sin x}}{{\sqrt {x - 1} }}\)
Do hàm số \(y = f\left( x \right)\) và \(y = g\left( x \right)\) đều liên tục tại mọi điểm \({x_0} \in \left[ {1; + \infty } \right)\) nên hàm số \(y = \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
\(f'\left(x\right)=4x\Rightarrow y=2x^2+1-4x\)
\(y'\left(x\right)=4x-4=0\Rightarrow x=1\)
1. Áp dụng quy tắc L'Hopital
\(\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{f\left(0\right)-f\left(x\right)}=\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}}{-f'\left(0\right)}=-\dfrac{1}{6}\)
2.
\(g'\left(x\right)=2x.f'\left(\sqrt{x^2+4}\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\f'\left(\sqrt{x^2+4}\right)=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\\sqrt{x^2+4}=1\\\sqrt{x^2+4}=-2\end{matrix}\right.\)
2 pt cuối đều vô nghiệm nên \(g'\left(x\right)=0\) có đúng 1 nghiệm
a) Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) sao cho \({u_n} < 0\) và \(\lim {u_n} = 0.\) Khi đó \(f\left( {{u_n}} \right) = - 1\) và \(\lim f\left( {{u_n}} \right) = - 1.\)
b) Xét dãy số \(\left( {{v_n}} \right)\) sao cho \({v_n} > 0\) và \(\lim {v_n} = 0.\) Khi đó \(f\left( {{v_n}} \right) = 1\) và \(\lim f\left( {{v_n}} \right) = 1.\)
\(f^3\left(2-x\right)-2f^2\left(2+3x\right)+x^2g\left(x\right)+36x=0\) (1)
Thay \(x=0\Rightarrow f^3\left(2\right)-2f^2\left(2\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(2\right)=0\\f\left(2\right)=2\end{matrix}\right.\)
Đạo hàm 2 vế của (1):
\(\Rightarrow-3f^2\left(2-x\right).f'\left(2-x\right)-12f\left(2+3x\right).f'\left(2+3x\right)+2x.g\left(x\right)+x^2.g'\left(x\right)+36=0\)
Thay \(x=0\)
\(\Rightarrow-3f^2\left(2\right).f'\left(2\right)-12f\left(2\right).f'\left(2\right)+36=0\)
TH1: \(f\left(2\right)=0\Rightarrow36=0\) (ktm)
TH2: \(f\left(2\right)=2\)
\(\Rightarrow-3.2^2.f'\left(2\right)-12.2.f'\left(2\right)+36=0\Rightarrow f'\left(2\right)=1\)
\(\Rightarrow A=3.2+4.1=10\)
a) Ta có \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) là các hàm đa thức nên các hàm số \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)
Vậy các hàm số \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) liên tục tại \(x = 2\)
b) \(\begin{array}{l}f\left( x \right) + g\left( x \right) = {x^3} + {x^2} + x + 1\\f\left( x \right) - g\left( x \right) = {x^3} - {x^2} + x - 1\\f\left( x \right).g\left( x \right) = \left( {{x^3} + x} \right)\left( {{x^2} + 1} \right) = {x^5} + 2{x^3} + x\\\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \frac{{{x^3} + x}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{x\left( {{x^2} + 1} \right)}}{{{x^2} + 1}} = x\end{array}\)
Ta có \(f\left( x \right) + g\left( x \right);f\left( x \right) - g\left( x \right);f\left( x \right).g\left( x \right);\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) là các hàm đa thức nên các hàm số \(f\left( x \right),g\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\)
Vậy các hàm số \(f\left( x \right) + g\left( x \right);f\left( x \right) - g\left( x \right);f\left( x \right).g\left( x \right);\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}\) liên tục tại \(x = 2\)
\(a,f'\left(x\right)=3x^2-6x\\ f'\left(x\right)\le0\Leftrightarrow3x^2-6x\le0\\ \Leftrightarrow3x\left(x-2\right)\le0\Leftrightarrow0\le x\le2\)
Lời giải:
a. $f'(x)\leq 0$
$\Leftrightarrow 3x^2-6x\leq 0$
$\Leftrightarrow x(x-2)\leq 0$
$\Leftrightarrow 0\leq x\leq 2$
b.
$f'(x)=x^2-3x+2=0$
$\Leftrightarrow 3x^2-6x=x^2-3x+2=0$
$\Leftrightarrow 3x(x-2)=(x-1)(x-2)=0$
$\Leftrightarrow x-2=0$
$\Leftrightarrow x=2$
c.
$g(x)=f(1-2x)+x^2-x+2022$
$g'(x)=(1-2x)'f(1-2x)'_{1-2x}+2x-1$
$=-2[3(1-2x)^2-6(1-2x)]+2x-1$
$=-24x^2+2x+5$
$g'(x)\geq 0$
$\Leftrightarrow -24x^2+2x+5\geq 0$
$\Leftrightarrow (5-12x)(2x-1)\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{-5}{12}\leq x\leq \frac{1}{2}$
\(f\left(x\right)=\left(x+1\right)\cdot e^x\)
=>\(f'\left(x\right)=\left(x+1\right)'\cdot e^x+\left(x+1\right)\cdot\left(e^x\right)'\)
=>\(f'\left(x\right)=e^x+e^x\left(x+1\right)\)
\(f'\left(0\right)=e^0+e^0\left(0+1\right)=1+1=2\)