Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(T=\frac{1}{1+x^2}+\frac{4}{4+y^2}+xy=\frac{y^2+4+4+4x^2}{\left(1+x^2\right)\left(4+y^2\right)}+xy=\frac{y^2+4x^4+4}{\left(1+x^2\right)\left(4+y^2\right)}+xy\)
Áp dụng BĐT Cosi:
\(y^2+4x^2\ge4xy\ge8\)
\(\hept{\begin{cases}x^2+1\ge2x\\y^2+4\ge4y\end{cases}\Rightarrow\left(x^2+1\right)\left(y^2+4\right)\ge8xy\ge16}\)
=> \(\frac{y^2+4x^2+8}{\left(x^2+1\right)\left(y^2+4\right)}\ge\frac{8}{16}=\frac{1}{2}\)
=> \(T\ge\frac{1}{2}+2=\frac{5}{2}\)
\(Min_T=\frac{5}{2}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=2x\\xy=2\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x=-1\\y=-2\end{cases}}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=2\end{cases}}\)
Từ điều kiện bài toán ta có
\(\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}\ge1\\x-y\ge0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{x}{y}\ge1\\x^2-2xy+y^2\ge0\end{cases}}\)
Thế vào ta được
\(P=\frac{2x^2+y^2-2xy}{xy}\ge\frac{x^2}{xy}=\frac{x}{y}\ge1\)
Dấu = xảy ra khi x = y