Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho x, y là các số thực thỏa mãn \(x^2+y^2-xy=1\).. Chứng minh rằng:
\(x^4+y^4-x^2y^2\ge\frac{1}{9}\)
đặt x2 + y2 = a; xy = b. khi đó a - b = 1 hay a = b + 1.
ta phải chứng minh x4 + y4 - x2y2 \(\ge\)\(\frac{1}{9}\)hay a2 - 3b2 \(\ge\)\(\frac{1}{9}\) (1)
thế a = b + 1 vào (1) ta được 9b2 - 9b - 4 \(\le\)0 hay (3b + 1)(3b - 4) \(\le\)0 hay \(\frac{-1}{3}\le b\le\frac{4}{3}\)
ta sẽ chứng minh \(\frac{-1}{3}\le b\le\frac{4}{3}\).
thật vậy
ta có x2 + y2\(\ge\)2xy nên từ giả thiết suy ra xy \(\le\) 1 hay b \(\le\)1 nên b \(\le\)\(\frac{4}{3}\)
mặt khác từ giả thiết ta có (x + y)2 - 3xy = 1 nên 3xy + 1 = (x + y)2\(\ge\)0 hay xy \(\ge\)\(\frac{-1}{3}\)hay b \(\ge\)\(\frac{-1}{3}\)
từ đó suy ra đpcm.
Câu 2:
Từ điều kiện bài này có thể đặt ẩn phụ và AM-GM ra luôn kết quả, nhưng hơi rắc rối khi người ta hỏi từ đâu mà có cách đặt ẩn phụ như vậy, do đó ta giải trâu :D
\(x^2+y^2+z^2+xyz=4\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}+2\left(\frac{x}{2}.\frac{y}{z}.\frac{z}{2}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow\frac{xy}{2z}.\frac{xz}{2y}+\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}+\frac{yz}{2x}.\frac{xz}{2y}+2\left(\frac{xy}{2z}.\frac{yz}{2x}.\frac{xy}{2y}\right)=1\)
Đặt \(\left(\frac{xy}{2z};\frac{zx}{2y};\frac{yz}{2x}\right)=\left(m;n;p\right)\Rightarrow mn+np+pn+2mnp=1\)
\(\Leftrightarrow2\left(n+1\right)\left(m+1\right)\left(p+1\right)=\left(n+1\right)\left(m+1\right)+\left(n+1\right)\left(p+1\right)+\left(m+1\right)\left(p+1\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{n+1}+\frac{1}{m+1}+\frac{1}{p+1}=2\)
\(\Leftrightarrow1=\frac{n}{n+1}+\frac{m}{m+1}+\frac{p}{p+1}\ge\frac{\left(\sqrt{n}+\sqrt{m}+\sqrt{p}\right)^2}{m+n+p+3}\)
\(\Leftrightarrow m+m+p+2\left(\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\right)\le m+n+p+3\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{mn}+\sqrt{np}+\sqrt{mp}\le\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{2}+\frac{y}{2}+\frac{z}{2}\le\frac{3}{2}\Leftrightarrow x+y+z\le3\)
Câu 1:
\(2xyz=1-\left(x+y+z\right)+xy+yz+zx\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=2xyz+\left(x+y+z\right)-1\)
\(VT=x^2+y^2+z^2=\left(x+y+z\right)^2-2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-4xyz+2\)
\(VT\ge\left(x+y+z\right)^2-2\left(x+y+z\right)-\frac{4}{27}\left(x+y+z\right)^3+2\)
\(VT\ge\frac{4}{27}\left[\frac{15}{4}-\left(x+y+z\right)\right]\left(x+y+z-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\)
(Do \(0< x;y;z< 1\Rightarrow x+y+z< 3< \frac{15}{4}\))
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
+\(x+y+z\le\sqrt{3\left(x^2+y^2+z^2\right)}=3\)
+\(3+2\left(xy+yz+zx\right)=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)=\left(x+y+z\right)^2\le9\)
\(\Rightarrow B=\frac{1}{1+\sqrt{3+2\left(xy+yz+zx\right)}}\ge\frac{1}{1+3}=\frac{1}{4}\)
+\(A=\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}=\frac{x^4}{x^2y+2zx^2}+\frac{y^4}{y^2z+2xy^2}+\frac{z^4}{z^2x+2yz^2}\)
\(\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2y+y^2z+z^2x+2\left(xy^2+yz^2+zx^2\right)}\)
Áp dụng bđt Bunhiacopxki
\(x^2y+y^2z+z^2x=x.xy+y.yz+z.zx\le\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\sqrt{x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2}\)
\(\le\sqrt{x^2+y^2+z^2}.\sqrt{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{3}}=3\)
(áp dụng \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\))
Tương tự: \(xy^2+yz^2+zx^2\le3\)
\(\Rightarrow B\ge\frac{3^2}{3+2.3}=1\)
\(VT=A+B\ge1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}=VP\)
Theo đề ta có \(\left(x+\frac{1}{y}\right)\in Z\) và \(\left(y+\frac{1}{x}\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x+\frac{1}{y}\right)\left(y+\frac{1}{x}\right)\in Z\)
hay \(\left(xy+\frac{1}{xy}+2\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)\in Z\)
Suy ra \(\left(xy+\frac{1}{xy}\right)^2\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2\right)\in Z\)\(\Rightarrow\)\(\left(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\right)\in Z\)
Vậy \(x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}\) là số nguyên (đpcm).
Bài 2:
b) Với y = 0 thì vt của pt thứ 2 = 0 => loại.
Xét y khác 0:
Nhân pt thứ nhất với \(\frac{7}{5}\) rồi trừ đi pt thứ 2 thu được:
\(\frac{14}{5}x^3+\frac{21}{5}x^2y-y^3-6xy^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{5}\left(x-y\right)\left(14x^2+35xy+5y^2\right)=0\)
Với x = y, thay vào pt thứ 2:
\(7x^3=7\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1\)
Với \(14x^2+35xy+5y^2=0\)
\(\Leftrightarrow14\left(\frac{x}{y}\right)^2+35\left(\frac{x}{y}\right)+5=0\)
Đặt \(\frac{x}{y}=t\) suy ra: \(14t^2+35t+5=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}t=\frac{-35+3\sqrt{105}}{28}\\t=\frac{-35-3\sqrt{105}}{28}\end{matrix}\right.\)
Nghiệm xấu quá, chị tự thay vào giải nốt :D. Nhớ check xem em có tính nhầm chỗ nào ko:D
3/ Sửa phân thức thứ 3 thành: \(\frac{1}{1+c^3}\).
Quy đồng lên ta cần chứng minh: \(\frac{\Sigma_{cyc}\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)}{\left(1+a^3\right)\left(1+b^3\right)\left(1+c^3\right)}\ge\frac{3}{1+abc}\)
\(\Leftrightarrow abc\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)+2abc\left(a^3+b^3+c^3\right)-3a^3b^3c^3-\left[a^3+b^3+c^3-3abc+2\left(a^3b^3+b^3c^3+c^3a^3\right)\right]\ge0\)Đến đây chắc là đổi biến sang pqr rồi làm nốt ạ! Hơi trâu bò tí, cách khác em chưa nghĩ ra.