NS
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
KA
0
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 4 2021
Lời giải:
Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.
Áp dụng vào bài:
$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$
$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$
Tương tự:
$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$
Cộng theo vế:
$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
6 tháng 4 2022
Bài toán này dựa trên bài toán mà bạn đã đăng hôm trước: nếu \(m^2+n^2\) chia hết cho 7 thì cả m và n đều chia hết cho 7.
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}5a+2b=m^2\\2a+5b=n^2\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow7\left(a+b\right)=m^2+n^2\)
\(\Rightarrow m^2+n^2⋮7\)
\(\Rightarrow m;n\) đều chia hết cho 7
\(\Rightarrow m^2;n^2\) đều chia hết cho 49
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}5a+2b⋮49\\2a+5b⋮49\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3\left(a-b\right)⋮49\\7\left(a+b\right)⋮49\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b⋮7\\a+b⋮7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a⋮7\\2b⋮7\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a⋮7\\b⋮7\end{matrix}\right.\) (đpcm)
6 tháng 4 2022
Cám ơn thầy ạ !
Đây là 1 loạt những bài toán về chuyên đề đồng dư thức , thầy đã nhiệt tình giúp đỡ em, em cám ơn ạ
G
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
21 tháng 1 2021
Đặt vế trái của BĐT là P:
\(P=\sqrt{\left(a+2\right)\left(b+2\right)}+\sqrt{2b.\left(a+1\right)}\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(a+2+b+2\right)+\dfrac{1}{2}\left(2b+a+1\right)\)
\(P\le\dfrac{1}{2}\left(2a+3b+5\right)=\dfrac{1}{2}.2024=1012\)
Dấu "=" không xảy ra
TN
1 tháng 4 2018
Ta có BĐT phụ \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)
\(\Leftrightarrow-\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)}{b\left(a+3b\right)}\le0\) *luôn đúng*
Tương tự cho 2 BĐT còn lại cũng có:
\(P\le2a-b+2b-c+2c-a=a+b+c=3\)
Dấu '=" khi \(a=b=c=1\)
3 tháng 5 2020
Xét \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}-\left(2b-a\right)=\frac{5a^3-a^3-\left(ab+3b^2\right)\left(2b-a\right)}{ab+3b^2}\)
\(=\frac{5b^3-a^3-\left(2ab^2-a^2b+6b^3-3b^2a\right)}{ab+3b^2}=\frac{-b^5-a^3+a^2b+b^2a}{ab+3b^2}\)
\(=\frac{-\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}{ab+3b^3}\le0\)
\(\Rightarrow\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}\le2b-a\)
Ta có 2 BĐT tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}\le2c-b\\\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le2a-c\end{cases}}\)
Cộng 3 vế BĐT trên ta được \(P\le2\left(a+b+c\right)-\left(a+b+c\right)=a+b+c=3\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}a=b=c\\a+b+c=3\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c=1}\)