Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có: \(a^2-b=b^2-c\Leftrightarrow a^2-b^2=b-c\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=b-c\Rightarrow a+b=\frac{b-c}{a-b}\)
Tương tự CM được: \(b+c=\frac{c-a}{b-c}\) và \(c+a=\frac{a-b}{c-a}\)
Khi đó:
\(\left(a+b+1\right)\left(b+c+1\right)\left(c+a+1\right)\)
\(=\left(\frac{a-b}{c-a}+1\right)\left(\frac{c-a}{b-c}+1\right)\left(\frac{b-c}{a-b}+1\right)\)
\(=\frac{c-b}{c-a}\cdot\frac{b-a}{b-c}\cdot\frac{a-c}{a-b}=-1\)
Vì a2 - b = b2 - c = c2 - a
Ta có a2 - b = b2 - c
=> (a - b)(a + b) = b - c
=> a + b + 1 = \(\frac{a-c}{a-b}\)
Tương tự ta có : b + c + 1 = \(\frac{b-a}{b-c}\)
a + c + 1 =\(\frac{b-c}{a-c}\)
Khi đó (a + b + 1)(b + c + 1)(a + c + 1) = \(\frac{a-c}{a-b}.\frac{b-a}{b-c}.\frac{b-c}{a-c}=-1\)(đpcm)
Ta có: \(a=b+c\Rightarrow c=a-b\)
\(\sqrt{\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}}=\sqrt{\dfrac{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{b^2\left(a-b\right)^2+a^2\left(a-b\right)^2+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{b^4+a^2b^2-2ab^3+a^4+a^2b^2-2a^3b+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2-2ab\left(a^2+b^2\right)+a^2b^2}{a^2b^2c^2}}=\sqrt{\dfrac{\left(a^2+b^2-ab\right)^2}{a^2b^2c^2}}=\left|\dfrac{a^2+b^2-ab}{abc}\right|\)
=> Là một số hữu tỉ do a,b,c là số hữu tỉ
Giả sử không có BĐT nào sai, ta có:
\(4\left(b+d\right)>a^2+c^2\ge2ac\)
Mà \(ac\ge2\left(b+d\right)\)
\(\Rightarrow4\left(b+d\right)>4\left(b+d\right)\) Vô lí
=> có ít nhất 1 bđt sai
Ta có :\(ac\ge2\left(b+d\right)\)\(\Leftrightarrow2ac\ge4\left(b+d\right)\)(1)
Giả sử hai bất đẳng thức \(a^2< 4b;c^2< 4d\)đều đúng , cộng vế với vế hai bất đẳng thức trên ta đc
\(a^2+c^2< 4b+4d\Leftrightarrow a^2+c^2< 4\left(b+d\right)\)
Thay (1) vào bất đẳng thức trên ta đc:\(a^2+c^2< 2ac\)\(\Leftrightarrow\)\(a^2-2ac+c^2< 0\)
\(\Leftrightarrow\)\(\left(a-c\right)^2< 0\)=> vô lí
Vậy có ít nhất một trong 2 bất đẳng thức trên là sai.
1) Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và bất đẳng thức Schwarz:
\(P=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\sqrt{ab}}\ge\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{4}{a+\dfrac{a+b}{2}}=\dfrac{8}{3a+b}\ge8\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = \(\dfrac{1}{4}\).
2.
\(4=a^2+b^2\ge\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\sqrt{2}\)
Đồng thời \(\left(a+b\right)^2\ge a^2+b^2\Rightarrow a+b\ge2\)
\(M\le\dfrac{\left(a+b\right)^2}{4\left(a+b+2\right)}=\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}\) (với \(x=a+b\Rightarrow2\le x\le2\sqrt{2}\) )
\(M\le\dfrac{x^2}{4\left(x+2\right)}-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}-1\)
\(M\le\dfrac{\left(2\sqrt{2}-x\right)\left(x+4-2\sqrt{2}\right)}{4\left(x+2\right)}+\sqrt{2}-1\le\sqrt{2}-1\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=2\sqrt{2}\) hay \(a=b=\sqrt{2}\)
3. Chia 2 vế giả thiết cho \(x^2y^2\)
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\ge\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\)
\(\Rightarrow0\le\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\le4\)
\(A=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}-\dfrac{1}{xy}\right)=\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\le16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\dfrac{1}{2}\)
Xét phương trình \(\left(x^2+ax+b\right)=0\left(1\right)\) có \(\Delta_1=a^2-4b\)
Xét phương trình \(\left(x^2+bx+a\right)=0\left(2\right)\) có \(\Delta_2=b^2-4a\)
\(\Delta_1+\Delta_2=a^2+b^2-4\left(a+b\right)\)
mà \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow2\left(a+b\right)=ab\)
\(\Rightarrow\Delta_1+\Delta_2=a^2+b^2-4\left(a+b\right)=a^2+b^2-2ab=\left(a-b\right)^2\ge0\)
=> Có ít nhất 1 trong 2 pt có nghiệm
=> đpcm
a) Đồ thị hàm số y = ax + b đi qua A(1; 3) và B(-1; -1)
Vậy a = 2; b = 1; hàm số y = 2x + 1.
b) y = ax + b song song với y = x + 5
⇒ a = 1.
Đồ thị hàm số đi qua C(1; 2) ⇔ 2 = a.1 + b ⇔ a + b = 2 ⇒ b = 1.
Vậy a = 1; b = 1.