Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Mình chỉ làm bài 1a, và bài 3 thôi nhé,còn lại là bạn tự làm nhé
Bài 1:
a, Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}\)
\(\Rightarrow\left[\frac{a}{b}\right]^2=\left[\frac{c}{d}\right]^2=\left[\frac{a+c}{b+d}\right]^2\Rightarrow\frac{a^2}{b^2}=\frac{c^2}{d^2}=\frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}\Rightarrow\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{(a+c)^2}{(b+d)^2}\)
Bài 3 : Sửa đề : Cho \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\)
CM : a = b = c
Cách 1 : Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=\frac{a+b+c}{b+c+a}=1\)
vì \(a+b+c\ne0\)
\(\frac{a}{b}=1\Rightarrow a=b;\frac{b}{c}=1\Rightarrow b=c\)
Do đó : \(a=b=c\).
Cách 2 : Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=m\), ta có : \(a=bm,b=cm,c=am\)
Do đó : \(a=bm=m(mc)=m\left[m(ma)\right]\)
\(\Rightarrow a=m^3a\Rightarrow m^3=1(a\ne0)\Rightarrow m=1\)
\(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1\Rightarrow a=b=c\)
Cách 3 : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}\Rightarrow\frac{a}{b}\cdot\frac{b}{c}\cdot\frac{c}{a}=\left[\frac{a}{b}\right]^3\Rightarrow1=\left[\frac{a}{b}\right]^3\Rightarrow\frac{a}{b}=1\)
Ta có : \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{c}{a}=1\Rightarrow a=b=c\)
áp dụng dbt cosi cho 2 số:\(\frac{a^3}{b^2}\)va b ta duoc :
\(\frac{a^3}{b^2}\)+a\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{a^3}{b^2}.a}\)=2\(\frac{a^2}{b}\)
CMTT:\(\frac{b^3}{c^2}\)+b\(\ge\)2\(\frac{b^2}{c}\)
\(\frac{c^3}{a^2}\)+c\(\ge\)2\(\frac{c^2}{a}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{a^3}{b^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)+\(\frac{c^3}{a^2}\)+(a+b+c)\(\ge\)2(\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\))
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^3}{b^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)+\(\frac{c^3}{a^2}\)\(\ge\)2(\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\)) - (a+b+c) (1)
Ap dụng bdt cosi cho các số dương , ta được:
\(\frac{a^2}{b}\)+\(b\)\(\ge\)2\(\sqrt{\frac{a^2}{b}.b}\)=2a
CMTT: \(\frac{b^2}{c}\)+c\(\ge\)2b
\(\frac{c^2}{a}\)+a\(\ge\)2c
\(\Rightarrow\)\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\)+(a+b+c) \(\ge\)2(a+b+c)
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\)\(\ge\)a+b+c
\(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\) _ (a + b + c ) \(\ge\)0
Do Đó:TỪ (1) ta co : \(\frac{a^3}{b^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)+\(\frac{b^3}{c^2}\)\(\ge\)(\(\frac{a^2}{b}\)+\(\frac{b^2}{c}\)+\(\frac{c^2}{a}\) )
Xét hiệu hai vế:
BĐT \(\Leftrightarrow\left(\frac{a^3}{b^2}-\frac{a^2b}{b^2}\right)+\left(\frac{b^3}{c^2}-\frac{b^2c}{c^2}\right)+\left(\frac{c^3}{a^2}-\frac{c^2a}{a^2}\right)-\left(a+b+c-b-c-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^3}{b^2}-\frac{a^2b}{b^2}\right)+\left(\frac{b^3}{c^2}-\frac{b^2c}{c^2}\right)+\left(\frac{c^3}{a^2}-\frac{c^2a}{a^2}\right)-\left[\left(a-b\right)+\left(b-c\right)+\left(c-a\right)\right]\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a^2}{b^2}\left(a-b\right)-\left(a-b\right)\right)+\left(\frac{b^2}{c^2}\left(b-c\right)-\left(b-c\right)\right)+\left(\frac{c^2}{a^2}\left(c-a\right)-\left(c-a\right)\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2}{b^2}+\frac{\left(b+c\right)\left(b-c\right)^2}{c^2}+\frac{\left(c+a\right)\left(c-a\right)^2}{a^2}\ge0\)
BĐT này đúng với mọi a,b,c > 0 nên ta có Q.E.D
Dấu "=" xảy ra khi a =b =c
P/s: Toán 7 gì mà khó thế nhỉ??Mình cũng không chắc đâu nha!
a) \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{c^2}{b^2}=\frac{a^2+c^2}{c^2+b^2}=\frac{a}{c}.\frac{c}{b}=\frac{a}{b}\)
b) \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\)\(\Rightarrow ab=c^2\)
\(\frac{b^2-a^2}{a^2+c^2}=\frac{b^2-ab+ab-a^2}{a^2+ab}=\frac{\left(b-a\right)b+\left(b-a\right)a}{a.\left(a+b\right)}=\frac{\left(b-a\right)\left(b+a\right)}{a.\left(a+b\right)}=\frac{b-a}{a}\)
a) Đặt \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}=k\Rightarrow\frac{a}{c}.\frac{c}{b}=k^2\)\(\Rightarrow\frac{a}{b}=k^2\)(1)
Mặt khác: \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}=k\Rightarrow\left(\frac{a}{c}\right)^2=\left(\frac{c}{b}\right)^2=k^2\Rightarrow\frac{a^2}{c^2}=\frac{c^2}{b^2}=k^2\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau,ta có:\(\frac{a^2}{c^2}=\frac{c^2}{b^2}=\frac{a^2+c^2}{c^2+b^2}=k^2\)(2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{a^2+c^2}{c^2+b^2}\left(=k^2\right)\)
CÓ : \(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\)=>\(ab=c^2\)
THẾ VÀO =>\(\frac{a^2+c^2}{b^2+c^2}\)= \(\frac{a^2+ab}{b^2+ab}\)=\(\frac{a\left(a+b\right)}{b\left(a+b\right)}\)=\(\frac{a}{b}\)
Câu 1:
Ta có\(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}=>ab=c^2\)
=>\(\frac{a^2+c^2}{c^2+b^2}=\frac{a^2+ab}{ab+b^2}=\frac{a\left(a+b\right)}{b\left(a+b\right)}=\frac{a}{b}\left(đccm\right)\)
Câu 2:
Theo bài ra, ta có:\(\frac{a}{c}=\frac{c}{b}\)
=>\(ab=c^2\)
Ta có: \(\frac{b-a}{a}=\frac{\left(b-a\right).\left(a+b\right)}{a.\left(a+b\right)}=\frac{b.\left(a+b\right)-a.\left(a+b\right)}{a^2+ab}\)
\(\frac{ab+b^2-\left(a^2+ab\right)}{a^2+c^2}=\frac{ab+b^2-a^2-ab}{a^2+c^2}=\frac{b^2-a^2}{a^2+c^2}\)
=>\(\frac{b^2-a^2}{a^2+c^2}=\frac{b-a}{a}\left(đpcm\right)\)
MIK CHẮC CHẮN BÀI NÀY LÀ HOÀN TOÀN CHÍNH XÁC LUN!!!!!!!!
k ĐÚNG cho mik nha, rùi mai mốt có j thì giúp đỡ nhau nhiều.