Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Nên bổ sung thêm điều kiện $a,b,c$ đôi một phân biệt. Đặt biểu thức cần chứng minh bằng $0$ là $P$
Ta có:
\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow \left(\frac{1}{b-c}+\frac{1}{c-a}+\frac{1}{a-b}\right)\left(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow \frac{a}{(b-c)^2}+\frac{b}{(c-a)^2}+\frac{c}{(a-b)^2}+\frac{b}{(b-c)(c-a)}+\frac{c}{(b-c)(a-b)}+\frac{a}{(c-a)(b-c)}+\frac{c}{(c-a)(a-b)}+\frac{a}{(a-b)(b-c)}+\frac{b}{(a-b)(c-a)}=0\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{b(a-b)+c(c-a)+a(a-b)+c(b-c)+a(c-a)+b(b-c)}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\)
\(\Leftrightarrow P+\frac{0}{(a-b)(b-c)(c-a)}=0\Rightarrow P=0\) (đpcm)
Áp dụng bđt Cauchy Schwarz dưới dạng Engel ta có :
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{c}+\frac{\left(c+b\right)^2}{a}+\frac{\left(a+c\right)^2}{b}\ge\frac{\left(a+b+c+b+c+a\right)^2}{a+b+c}\)
\(=\frac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{a+b+c}=\frac{4\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=4\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
nguyễn quốc khánh sai r.không đủ tính thuyết phuc chung mình như vậy cũng không thể x+y+z=0=>x=y=z d
Ta có
\(\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a}+\frac{c}{a-b}=0\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b-c}=\frac{b}{a-c}+\frac{c}{b-a}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-c\right)\left(b-a\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}=\frac{b^2-ab+ac-c^2}{\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)}\)
Tương tự
\(\frac{b}{\left(c-a\right)^2}=\frac{c^2-bc+ab-a^2}{\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)}\)
\(\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{a^2-ac+bc-b^2}{\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(b-c\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{\left(b-c\right)^2}+\frac{b}{\left(c-a\right)^2}+\frac{c}{\left(a-b\right)^2}=\frac{b^2-ab+ac-c^2+c^2-bc+ab-a^2+a^2-ac+bc-b^2}{\left(a-c\right)\left(b-a\right)\left(a-b\right)}\)
=0 ( ĐPCM)