Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho x,y,z>0; \(x^2+y^2+z^3=\frac{5}{3}\)
CMR: \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{1}{z}\le\frac{1}{xyz}\)
Ta có: \(\frac{x^2}{1+2yz}+\frac{y^2}{1+2zx}+\frac{z^2}{1+2xy}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+2\left(xy+yz+zx\right)}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+2\left(x^2+y^2+z^2\right)}\)
\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3+2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{5}\)
Mà \(\left(x+y+z\right)^2\le3\left(x^2+y^2+z^2\right)=3\)
Nên thay vào ngược dấu
=> ch bt lm
Nói chung khá đơn giản. Em chứng minh bất đẳng thức sau đây là được.
\(\frac{x^2}{1+2yz}=\frac{x^2}{x^2+\left(y^2+z^2+2yz\right)}=\frac{x^2}{x^2+\left(y+z\right)^2}\ge\frac{1}{25}\cdot\frac{17x^2-y^2-z^2}{x^2+y^2+z^2}\)
Có thể chứng minnh nó bằng cách: \(f\left(x,y,z\right)=\frac{x^2}{x^2+\left(y+z\right)^2}-\frac{1}{25}\cdot\frac{17x^2-y^2-z^2}{x^2+y^2+z^2}\)
Ta chứng minhL \(f\left(x,y,z\right)\ge f\left(x,\frac{y+z}{2},\frac{y+z}{2}\right)\ge0\) (quy đồng phát là ra nhân tử (y-z)^2 nên hiển nhiên:v)
Tương tự cộng lại. Xong.
Cách Cauchy-SChwarz:
Chứng minh theo trình tự: \(\Sigma\frac{x^2}{x^2+\left(y+z\right)^2}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\Sigma x^2\left[x^2+\left(y+z\right)^2\right]}\ge\frac{3}{5}\)
3:
\(\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{c+d}{c-d}\)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}=\dfrac{\left(a+b\right)-\left(a-b\right)}{\left(c+d\right)-\left(c-d\right)}=\dfrac{2b}{2d}=\dfrac{b}{d}\) (1)
\(\Rightarrow\dfrac{a+b}{c+d}=\dfrac{a-b}{c-d}=\dfrac{a+b+a-b}{c+d+c-d}=\dfrac{2a}{2c}=\dfrac{a}{c}\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{b}{d}\)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\)
\(\Rightarrow\) ĐPCM
ta co : a+b+c=bc+ac+ab/abc
=a+b+c=bc+ac+ab (vi abc=1)
ta co : (a-1).(b-1).(c-1)
=(ab-a-b+1).(c-1)
=abc-ab-ac+a-bc+b+c-1
=(abc-1)+(a+b+c)-(ab+ac+bc)
=(1-1)+(bc+ac+ab)-(ab+ac+bc)
=0
do (a-1).(b-1).(c-1)=0 (cmt)
=>a=b=c=1
thay vao p
=>p=(1^19-1).(1^5-1).(1^1890-1)
=(1-1).(1-1).(1-1)
0
Tớ nhầm a,b,c với x,y,z nhe
thông cảm bệnh nghề nghiệp
p=0 là đúng đấy
nhớ cho tớ nhé
hí hí hí hí hí ................
Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engel , ta được
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^3}{x+y+z}=\frac{1}{x+y+z}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\) => \(x=y=z\).(*)
Áp dụng BĐT Cauchy dạng Engel , ta được : \(\frac{1}{x^5}+\frac{1}{y^5}+\frac{1}{z^5}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^3}{x^5+y^5+z^5}\) \(=\frac{1}{x^5+y^5+z^5}\)
Dấu "=" xảy ra khi x=y=z ( đã có ở (*) )
Vậy \(\frac{1}{x^5}+\frac{1}{y^5}+\frac{1}{z^5}=\frac{1}{x^5+y^5+z^5}\) ( đpcm) với x=y=z
Bài này gần giống câu hỏi số 965642 bn xem đi nhé