Question

[kudo shinichi]

Cho \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=4\)

CMR: \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+x+y}\le1\)

Answer 1

[Girl]

Áp dụng bđt Cauchy-Schwarz:

\(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\frac{1}{2y+x+z}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\frac{1}{2z+x+y}\le\frac{1}{16}\left(\frac{1}{z}+\frac{1}{z}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)

Cộng theo vế:

\(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+x+z}+\frac{1}{2z+x+y}\le\frac{1}{16}\left(\frac{4}{x}+\frac{4}{y}+\frac{4}{z}\right)=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)=1\)

Answer 2

[zZz Cool Kid_new zZz]

Câu hỏi của Sherlock Shinichi:anh vào đây tham kkhảo câu trả lời của tth nha