Question

[EZblyat]

Cho đường tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = R √ 2. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Một góc xOy= 45 độ cắt đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại D và E, DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). Chứng minh 2/3 R<DE<R.

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Gọi BC giao OD và OE lần lượt tại H và K.

Vì \(OA=R\sqrt{2}=OB\sqrt{2}=OC\sqrt{2}\) nên tứ giác ABOC là hình vuông

Suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{DOE}=45^0\), suy ra tứ giác DBOK nội tiếp 

Do đó \(\widehat{DKO}=180^0-\widehat{DBO}=90^0\) hay \(DK\perp OE\)

Tương tự \(EH\perp OD\). Suy ra \(\widehat{BDO}=\widehat{BKO}=\widehat{EDO}\) do DHKE nội tiếp

Suy ra DO là phân giác \(\widehat{BDE}\). Mà AO là phân giác \(\widehat{DAE}\) nên O là tâm bàng tiếp góc A của \(\Delta ADE\)

Do vậy \(DE+AD+AE=2AB=2R\)

Ta có \(2R=DE+AD+AE>DE+DE=2DE\Rightarrow DE< R\)

Lại có \(\frac{2}{3}R=\frac{DE+AD+AE}{3}< \frac{DE+DE+DE}{3}=DE\)

Vậy \(\frac{2}{3}R< DE< R.\)