Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét (O) có
AM,AN là các tiếp tuyến
Do đó: AM=AN
=>A nằm trên đường trung trực của MN(1)
Ta có: OM=ON
=>O nằm trên đường trung trực của MN(2)
Từ (1) và (2) suy ra OA là đường trung trực của MN
=>OA\(\perp\)MN tại I
Xét ΔOHA vuông tại H và ΔOIC vuông tại I có
\(\widehat{HOA}\) chung
Do đó: ΔOHA~ΔOIC
=>\(\dfrac{OH}{OI}=\dfrac{OA}{OC}\)
=>\(OH\cdot OC=OA\cdot OI\)
mà \(OA\cdot OI=OM^2=OB^2\)
nên \(OB^2=OH\cdot OC\)
=>\(\dfrac{OB}{OH}=\dfrac{OC}{OB}\)
Xét ΔOBC và ΔOHB có
\(\dfrac{OB}{OH}=\dfrac{OC}{OB}\)
\(\widehat{BOC}\) chung
Do đó: ΔOBC~ΔOHB
=>\(\widehat{OBC}=\widehat{OHB}\)
mà \(\widehat{OHB}=90^0\)
nên \(\widehat{OBC}=90^0\)
=>CB là tiếp tuyến của (O)
mà OA⋅OI=OM2=OB2
nên OB2=OH⋅OC
đoạn này không hiểu ạ , góc B đã vuông đâu
c: Xét (O) có
ΔMKD nội tiếp
MD là đường kính
Do đó: ΔMKD vuông tại K
=>MK\(\perp\)KD tại K
=>MK\(\perp\)AD tại K
Xét ΔMDA vuông tại M có MK là đường cao
nên \(AK\cdot AD=AM^2\left(1\right)\)
Xét ΔAOM vuông tại M có MH là đường cao
nên \(AH\cdot AO=AM^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AK\cdot AD=AH\cdot AO\)
Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tiếp tuyến của (O) tại A lấy điểm M (M khác A). Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm ở giữa M và D; tia MC nằm giữa MA và MO) và tiếp tuyến thứ hai MI (I là tiếp điểm) với đường tròn (O). Đường thẳng BC và BD cắt đường thẳng OM lần lượt tại E và F. Chứng minh:
O là trung điểm của EF
a: OH*OA=OB^2=R^2
b: ΔOCD cân tại O
mà OM là trung tuyến
nên OM vuông góc với CD
Xét tứ giác OMBA có
góc OMA=góc OBA=90 độ
nên OMBA là tứ giác nội tiếp
c: Xét ΔOHE vuông tại H và ΔOMA vuông tại M có
góc MOA chung
Do đó: ΔOHE đồng dạng với ΔOMA
=>OH/OM=OE/OA
=>OM*OE=OH*OA=R^2=OC^2=OD^2
=>ΔODE vuông tại D
=>DE là tiếp tuyến của (O)
a: Xét tứ giác AMON có
\(\widehat{OMA}+\widehat{ONA}=180^0\)
Do đó: OMAN là tứ giác nội tiếp
1. Để chứng minh cung DE có số đo không đổi, ta cần chứng minh góc \(\angle BOC\) có số đo không đổi. Thực vậy, theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, OB và OC là phân giác ngoài của tam giác ABC. Ta có
\(\angle BOC=180^{\circ}-\frac{\angle MBC}{2}-\frac{\angle NCB}{2}=\frac{\angle ABC}{2}+\frac{\angle ACB}{2}=90^{\circ}-\frac{\angle BAC}{2}=90^{\circ}-\frac{a}{2}\)
Do đó góc \(\angle BOC\) có số đo không đổi. Suy ra cung DE có số đo không đổi.
2. Do CD vuông góc với AB nên BC,BD là đường kính của hai đường tròn (O) và (O'). Suy ra
\(\angle CFB=\angle DEB=90^{\circ}\to\angle CFD=\angle CED=90^{\circ}.\) Vậy tứ giác CDEF nội tiếp. Do đó \(\angle ECF=\angle EDF\to\angle FAB=\angle ECF=\angle EDF=\angle EDB\)
Vậy AB là phân giác của góc AEF.
3. Đề bài có chút nhầm lẫn, "kẻ \(IH\perp BC\) mới đúng. Do tam giác ABC nhọn và I nằm trong nên các điểm H,K,L nằm trên các cạnh của tam giác. Sử dụng bất đẳng thức \(a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\left(a+b\right)^2,\) ta suy ra \(AL^2+BL^2\ge\frac{1}{2}\left(AL+BL\right)^2=\frac{1}{2}AB^2.\) Tương tự ta cũng có \(BH^2+CH^2\ge\frac{1}{2}BC^2,KC^2+KA^2\ge\frac{1}{2}AC^2.\) Mặt khác theo định lý Pitago
\(AL^2+BH^2+CK^2=\left(IA^2-IL^2\right)+\left(IB^2-IH^2\right)+\left(IC^2-IK^2\right)\)
\(=\left(IA^2-IK^2\right)+\left(IB^2-IL^2\right)+\left(IC^2-IH^2\right)\)
\(=BL^2+CH^2+AK^2.\)
Thành thử \(AL^2+BH^2+CK^2=\frac{\left(AL^2+BL^2\right)+\left(BH^2+CH^2\right)+\left(CK^2+AK^2\right)}{2}\ge\frac{AB^2+BC^2+CA^2}{2}.\)
Dấu bằng xảy ra khi \(AL=BL,BH=CH,CK=AK\Leftrightarrow I\) là giao điểm ba đường trung trực.
a) Ta có AB và AC là tiếp tuyến tại A và B của (O)
=> AB⊥OB và AC⊥OC
Xét ΔAOB và ΔAOC có
OB=OC(=R)
Góc ABO=Góc ACO=90
OA chung
=> ΔAOB=ΔAOC
=> AB=AC
=> A∈trung trực của BC
Có OB=OC(=R)
=>O∈trung trực của BC
=> OA là đường trung trực của BC
Mà H là trung điểm của BC
=>A;H;O thẳng hàng
Xét ΔABO vuông tại B
=>A;B:O cùng thuộc đường tròn đường kính OA
Xét ΔACO vuông tại C
=>A;C;O cùng thuộc đuường tròn đường kính OA
=>A;B;C;O cùng thuộc đường tròn đường kính OA
b) Xét (O) có BD là đường kính
=>ΔBCD vuông tại C
=> CD⊥BC
Mà OA⊥BC
=>OA//CD
=> Góc AOC=Góc OCD
Xét ΔOCD có OC=OD
=> ΔOCD cân tại O
=> Góc OCD=Góc ODC
=> Góc ODC=Góc AOC
Xét ΔAOC và ΔCDK có
Góc AOC=Góc CDK
Góc ACO=Góc CKD=90
=>ΔAOC∞ΔCDK
=>AOCDAOCD= ACCKACCK
=>AC.CD=CK.OA
d) Xét ΔOCK vuông tại K
=> ΔOCK nội tiếp đường tròn đường kính OC
Xét ΔOHC vuông tại H
=> ΔOHC nội tiếp đường tròn đươngf kính OC
=> Tứ giác OKCH nội tiếp đường tròn đường kính OC
=> Góc CHK=Góc COD
Có góc BOA=Góc BCK( cùng phụ góc CBD)
Góc CHI+góc BCK=Góc BOA+ góc BAO
=>Góc CHI=Góc BAO
Mà Góc BAO=Góc CBD( cùng phụ góc ABC)
=> Góc CHI=Góc CBD
=> HI//BD
Xét ΔBCD có HI//BD và H là trung điểm của BC
=> HI là đường trung bình của ΔBCD
=> I là trung điểm của CK
hay ghê