Question

[Lê Nhật Khôi]

Cho đoạn thẳng BD. Trên BD lấy C, dựng tam giác ABC cân tại A sao cho AB=AC=CD

Nếu \(\frac{1}{CD}-\frac{1}{BD}=\frac{1}{CD+BD}\)

a) Tìm số đo góc BAC

b)Chứng minh: \(AB^2=BC\cdot AD\)

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Bổ đề: Xét tam giác ABC (BC = a, CA = b; AB = c). Nếu a² = b(b+c) thì ^BAC = 2^ABC.

Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho ^CAM = ^CBA. Khi đó \(\Delta\)CMA ~ \(\Delta\)CAB (g.g) => CA² = CM.CB

Hay b² = a.CM. Thay vào a² = b(b+c) ta được a² = a.CM + bc <=> a(a - CM) = bc

<=> a.BM = bc => BM = \(\frac{bc}{a}\). Cũng từ \(\Delta\)CMA ~ \(\Delta\)CAB suy ra \(\frac{AM}{BA}=\frac{CA}{CB}\)

Hay \(\frac{AM}{c}=\frac{b}{a}\)=> AM = \(\frac{bc}{a}\)= BM => \(\Delta\)AMB cân tại M => ^ABC = ^MAB = ^CAM = ^BAC/2

Quay trở lại bài toán:

a) Ta có \(\frac{1}{CD}-\frac{1}{BD}=\frac{1}{CD+BD}\Leftrightarrow\frac{CD+BD}{CD}-\frac{CD+BD}{BD}=1\)

\(\Leftrightarrow\frac{BD}{CD}-\frac{CD}{BD}=1\Leftrightarrow\frac{CD}{BD}=\frac{BD}{CD}-1=\frac{BC}{CD}\Rightarrow CD^2=BC.BD\)

\(\Rightarrow CD^2=BC\left(BC+CD\right)\) hoặc \(AC^2=BC\left(BC+AB\right)\)

Áp dụng bổ đề vào \(\Delta\)ABC ta được ^ABC = 2^BAC. Do \(\Delta\)ABC cân tại A nên:

^BAC = 180⁰ - 2^ABC => ^BAC = 180⁰ - 4^BAC => 5^BAC = 180⁰ => ^BAC = 36⁰ . Vậy ...

b) Dễ có ^ACD = 108⁰ => ^CAD = ^CDA = 36⁰ => \(\Delta\)BAD cân tại D => BD = AD

Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)DBA: ^BAC = ^BDA (=36⁰), ^B chung => \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)BDA (g.g)

=> AB² = BC.BD = BC.AD (Vì BD = AD) (đpcm).