Question

[Lê Vũ Anh Thư]

Cho: \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)và x, y, z khác 0

CMR: \(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

Answer 1

[Khôi Bùi]

Giả sử điều cần c/m là đúng . Khi đó , ta có :

\(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=\left(ax+by+cz\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2a^2+y^2a^2+z^2a^2+x^2b^2+y^2b^2+z^2b^2+x^2c^2+y^2c^2+z^2c^2\)

\(=x^2a^2+b^2y^2+c^2z^2+2axby+2bycz+2axcz\)

\(\Leftrightarrow y^2a^2+z^2a^2+x^2b^2+z^2b^2+x^2c^2+y^2c^2=2axby+2bycz+2axcz\)

\(\Leftrightarrow y^2a^2+z^2a^2+x^2b^2+z^2b^2+x^2c^2+y^2c^2-2axby-2bycz-2axcz=0\) \(\Leftrightarrow\left(y^2a^2-2axby+b^2x^2\right)+\left(b^2z^2-2bycz+c^2y^2\right)+\left(x^2c^2-2axcz+a^2z^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(cx-az\right)^2=0\left(1\right)\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}\left(ay-bx\right)^2\ge0\\\left(bz-cy\right)^2\ge0\\\left(cx-az\right)^2\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left(ay-bx\right)^2+\left(bz-cy\right)^2+\left(cx-az\right)^2\ge0\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) ; ( 2 ) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay-bx=0\\bz-cy=0\\cx-az=0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}ay=bx\\bz=cy\\cx=az\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}\\\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\\\dfrac{c}{z}=\dfrac{a}{x}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}\)

Điều này đúng với GT đề bài cho

\(\Rightarrow\) Điều cần c/m là đúng

\(\Rightarrow\dfrac{x^2+y^2+z^2}{\left(ax+by+cz\right)^2}=\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}\left(đpcm\right)\)

Answer 2

[Rồng Đom Đóm]

hơi dài bạn ạ bđt trên đúng theo bunhia vì dấu "=" đúng với điều kiện rồi