Question

[Ctuu]

Cho \(\Delta\)ABC cân tại A,đường cao AH.Gọi M là trung điểm của AB,E là điểm đối xứng với H qua M.

a)Chứng minh tứ giác AHBE là hình chữ nhật

b)Gọi F đối xứng A qua BC.Chứng minh tứ giác ABFC là hình thoi

c)Gọi K là giao điểm của FM và BC.Chứng minh 4HK=CK

Answer 1

[Phùng khánh my]

a) Để chứng minh tứ giác AHBE là hình chữ nhật, ta cần chứng minh AH || BE và AH = BE.

Vì ΔABC cân tại A, nên đường cao AH là đường trung trực của BC. Do đó, AH vuông góc với BC.

Vì E là điểm đối xứng của H qua M, nên EM = MH và góc EMH = góc HME = 90 độ.

Do đó, ta có:

- AH || BE (vì AH và BE đều vuông góc với BC).

- AH = EM = BE (vì EM = MH và E là điểm đối xứng của H qua M).

Vậy tứ giác AHBE là hình chữ nhật.

b) Gọi F là điểm đối xứng của A qua BC. Ta cần chứng minh tứ giác ABFC là hình thoi.

Vì F là điểm đối xứng của A qua BC, nên AF = AC và góc AFC = góc ACB.

Vì ΔABC cân tại A, nên góc ACB = góc ABC.

Do đó, ta có:

- AF = AC (vì F là điểm đối xứng của A qua BC).

- góc AFC = góc ACB = góc ABC.

Vậy tứ giác ABFC là hình thoi.

c) Gọi K là giao điểm của FM và BC. Ta cần chứng minh 4HK = CK.

Vì M là trung điểm của AB, nên MK || AC và MK = 1/2 AC.

Vì E là điểm đối xứng của H qua M, nên EM = MH.

Do đó, ta có:

- HK = EM (vì HK || EM và HK = EM).

- CK = AC (vì CK là đường chéo của hình chữ nhật AHBE).

Vậy ta có:

4HK = 4EM = 2EM + 2EM = 2EM + 2MH = EH + CH = CK.

Vậy 4HK = CK.