Question

[APTX 4869]

Cho \(\Delta ABC\) ; AD là phân giác ; AB=c ; AC=b ; BC=a C/M

a) \(\sin\frac{A}{2}\le\frac{a}{b+c}\)

b) \(\sin\frac{A}{2}\). \(\sin\frac{B}{2}\) . \(\sin\frac{C}{2}\) \(\le\frac{1}{8}\)

c) AD = \(\frac{2bc.\cos\frac{A}{2}}{b+c}\)

Các bạn có thể làm ý nào thì cứ làm nhé . Nếu đúng thì mình sẽ tick cho

Answer 1

[Vũ Tiến Manh]

Kẻ BM và CN vuông góc với AD

a)  AC.sin\(\frac{A}{2}\)=CN \(\le\) CD ; AB.sin\(\frac{A}{2}\)=BM \(\le\) BD 

=> (AC+AB)sin\(\frac{A}{2}\)\(\le\) CD+BD = BC hay (b+c)sin\(\frac{A}{2}\)\(\le\)a <=> sin\(\frac{A}{2}\le\frac{a}{b+c}\)

dấu '=' xảy ra khi M,N, D trùng nhau hay tam giác ABC cân ở A

b) làm tương tự ta có sin\(\frac{B}{2}\le\frac{b}{a+c}\); sin\(\frac{C}{2}\le\frac{c}{a+b}\)

=> sin\(\frac{A}{2}.sin\frac{B}{2}.sin\frac{C}{2}\le\frac{a.b.c}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)  (1)

mà (a+b)(b+c)(c+a) \(\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}\)=8a.b.c => (1) \(\le\frac{1}{8}\)

dấu '=' khi a=b=c hay tam giác ABC là tam giác đều

c) xét 2 tam giác CND và tam giác BMD có CN // BM ( đều vuông góc với AD) nên \(\widehat{NCD}=\widehat{MBD}\); lại có \(\widehat{NDC}=\widehat{BDM}\)

=> là 2 tam giác đồng dạng => \(\frac{DN}{DM}=\frac{NC}{MB}=\frac{AC.sin\frac{A}{2}}{AB.sin\frac{A}{2}}=\frac{b}{c}=>DN=DM.\frac{b}{c}\)

AD = AM+MD => \(\frac{b}{c}AD=\frac{b}{c}AM+\frac{b}{c}MD\)

AD= AN-ND

=>cộng vế theo vế ta được  AD(\(\frac{b}{c}+1\)) = \(\frac{b}{c}\)AM+\(\frac{b}{c}MD\)+ AN - ND =  \(\frac{b}{c}AM+AN\)= \(\frac{b}{c}ABcos\frac{A}{2}+ACcos\frac{A}{2}\)=\(\frac{b}{c}.c.cos\frac{A}{2}+bcos\frac{A}{2}\)= 2b.\(cos\frac{A}{2}\)

=> AD(\(\frac{b+c}{c}\)) = 2b\(cos\frac{A}{2}\) <=> AD= \(\frac{2bc.cos\frac{A}{2}}{b+c}\)