Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(u_{n+1}-1=u_n\left(u_n-1\right)\Leftrightarrow\dfrac{1}{u_{n+1}-1}=\dfrac{1}{u_n-1}-\dfrac{1}{u_n}\Rightarrow\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{u_n-1}-\dfrac{1}{u_{n+1}-1}\)
Lan luot the i vo n:
\(\dfrac{1}{u_1}=\dfrac{1}{u_1-1}-\dfrac{1}{u_2-1}\)
\(\dfrac{1}{u_2}=\dfrac{1}{u_2-1}-\dfrac{1}{u_3-1}\)
...
\(\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{u_n-1}-\dfrac{1}{u_{n+1}-1}\)
Cong ve voi ve:
\(\dfrac{1}{u_1}+\dfrac{1}{u_2}+...+\dfrac{1}{u_n}=\dfrac{1}{u_1-1}-\dfrac{1}{u_{n+1}-1}\)
Do dãy tăng và ko bị chặn trên <bạn thay vô là biết>
\(\Rightarrow\lim\limits\left(u_{n+1}-1\right)=+\infty\Rightarrow\lim\limits\sum\limits^n_{i=1}\dfrac{1}{u_i}=\lim\limits\left(\dfrac{1}{u_1-1}-\dfrac{1}{u_{n+1}-1}\right)=1\)
a) Để chứng minh rằng Un > 1 đối với mọi N và Un là dãy tăng, ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp.
Bước cơ sở: Ta thấy rằng u1 = 2 > 1.
Bước giả sử: Giả sử đúng đối với một số nguyên k ≥ 1, tức là uk > 1.
Bước bước: Ta sẽ chứng minh rằng uk+1 > 1. Từ công thức cho dãy (Un), ta có:
uk+1 = uk-2015 + uk + 1/uk - uk + 3
Vì uk > 1 (theo giả thiết giả sử), ta có uk - 2015 > 0 và uk + 3 > 0. Do đó, uk+1 > 0.
Vì vậy, ta có uk+1 > 1, và đẳng thức này đúng đối với mọi số nguyên k ≥ 1.
Do đó, ta chứng minh được rằng Un > 1 đối với mọi N và Un là dãy tăng.
b) Để tính limn∑i=11uk - i + 2, ta có thể sử dụng định nghĩa của dãy (Un) và công thức tổng của dãy số aritmeti.
Từ công thức cho dãy (Un), ta có:
uk - i + 2 = uk - 2015 - i + uk + 1 - i + uk + 2 - i
Vì Un là dãy tăng, ta có thể viết lại công thức trên như sau:
uk - i + 2 = uk - 2015 - i + uk + 1 - i + uk + 2 - i
= (uk+1 - 2015 + uk + 1) - (uk - 2015 + uk) + (uk+1 - uk)
= 2uk+1 - 2uk + 2015
Do đó, ta có thể viết lại tổng như sau:
∑i=11uk - i + 2 = 2∑i=11uk+1 - 2∑i=11uk + 2015∑i=1
= 2(u12 - u2) + 2015(12)
Với giá trị cụ thể của u12 và u2, ta có thể tính được tổng trên.
Bạn tham khảo câu trả lời của anh Lâm
https://hoc24.vn/cau-hoi/.334447965337
Đề chỗ này có vấn đề:
\(u_n^2+2021u_n-2023u_{n+1}+1\)
Thiếu dấu "="