Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
1: Xét ΔABH vuông tại H có HE là đường cao
nên \(AE\cdot AB=AH^2\left(1\right)\)
Xét ΔACH vuông tại H có HF là đường cao
nên \(AF\cdot AC=AH^2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(AE\cdot AB=AF\cdot AC\)
2: \(AE\cdot AB+AF\cdot AC=AH^2+AH^2=2AH^2\)
4: \(4\cdot OE\cdot OF=2OE\cdot2OF=FE\cdot AH=AH^2\)
\(HB\cdot HC=AH^2\)
Do đó: \(4\cdot OE\cdot OF=HB\cdot HC\)
A B C H
a) Xét hai tam giác vuông : tam giác HBA và tam giác ABC có :
góc B chung , góc AHB = góc BAC = 90 độ
=> tam giác HBA đồng dạng với tam giác ABC (g.g)
=> \(\frac{BH}{AB}=\frac{AB}{BC}\Rightarrow AB^2=BH.BC\)
b) Xét hai tam giác vuông : tam giác HBA và tam giác HAC có :
góc AHB = góc AHC = 90 độ , góc ABH = góc HAC vì cùng phụ với góc BCA
=> tam giác HBA đồng dạng với tam giác HAC
=> \(\frac{BH}{AH}=\frac{AH}{CH}\Rightarrow AH^2=BH.CH\)
c) Ta có : \(S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}BC.AH\Rightarrow AB.AC=BC.AH\)
\(\Rightarrow\left(AB.AC\right)^2=\left(BC.AH\right)^2\Leftrightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{BC^2}{AB^2.AC^2}=\frac{AB^2+AC^2}{AB^2.AC^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{AH^2}=\frac{1}{AB^2}+\frac{1}{AC^2}\)
A B C H D K
a) Ta có: \(1+1=2\Leftrightarrow\frac{AB^2}{AB^2}+\frac{AC^2}{AC^2}=2\Leftrightarrow\frac{BC^2-AC^2}{AB^2}+\frac{BC^2-AB^2}{AC^2}=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{BC^2}{AB^2}+\frac{BC^2}{AC^2}-\frac{AC^2}{AB^2}-\frac{AB^2}{AC^2}=2\)(*)
Lại có: \(\Delta\)DHA ~ \(\Delta\)ABC (g.g) \(\Rightarrow\frac{BC}{AB}=\frac{AH}{HD}\Leftrightarrow\frac{BC^2}{AB^2}=\frac{AH^2}{HD^2}\)(1)
\(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)KAH (g.g) \(\Rightarrow\frac{BC}{AC}=\frac{AH}{HK}\Leftrightarrow\frac{BC^2}{AC^2}=\frac{AH^2}{HK^2}\)(2)
\(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)HBA (g.g) \(\Rightarrow\frac{AC}{AB}=\frac{AH}{BH}\Leftrightarrow\frac{AC^2}{AB^2}=\frac{AH^2}{BH^2}\)(3)
Tương tự: \(\frac{AB}{AC}=\frac{AH}{CH}\Leftrightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{AH^2}{CH^2}\)(4).
Thay hết (1); (2); (3) và (4) vào (*) ta được: \(\frac{AH^2}{HD^2}+\frac{AH^2}{HK^2}-\frac{AH^2}{BH^2}-\frac{AH^2}{CH^2}=2\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{HD^2}+\frac{1}{HK^2}-\frac{1}{BH^2}-\frac{1}{CH^2}=\frac{2}{AH^2}\)(Chia cả 2 vế cho AH2)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{HD^2}+\frac{1}{HK^2}=\frac{1}{BH^2}+\frac{1}{CH^2}+\frac{2}{AH^2}\)(đpcm).
b) Ta có: \(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)DBH (g.g) \(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{DH}\)
\(\Delta\)ABC ~ \(\Delta\)KHC (g.g) \(\Rightarrow\frac{AB}{AC}=\frac{HK}{KC}\). Nhân theo vế 2 hệ thức trên:
\(\Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}=\frac{DB.HK}{KC.DH}\Leftrightarrow\frac{AB^2}{AC^2}.\frac{DH}{HK}=\frac{DB}{KC}\)(5)
Dễ chứng minh tứ giác ADHK là hình chữ nhật \(\Rightarrow\frac{DH}{HK}=\frac{AK}{AD}\)
Mà \(\Delta\)DAK ~ \(\Delta\)CAB (g.g) \(\Rightarrow\frac{AK}{AD}=\frac{AB}{AC}\)\(\Rightarrow\frac{DH}{HK}=\frac{AB}{AC}\)(6)
Từ (6) & (5) \(\Rightarrow\frac{AB^2}{AC^2}.\frac{AB}{AC}=\frac{DB}{KC}\Leftrightarrow\frac{AB^3}{AC^3}=\frac{DB}{KC}\)(đpcm).
c) Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông: \(BH^2=BD.AB;\) \(CH^2=CK.AC\)
\(\Rightarrow\left(BH.CH\right)^2=BD.AB.CK.AC=BD.CK.AB.AC\)
Mặt khác: \(S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}=\frac{AH.BC}{2}\Rightarrow AB.AC=AH.BC\)
\(\Rightarrow\left(BH.CH\right)^2=BD.CK.BC.AH\).
Lại có: \(AH^2=BH.CH\)(Hệ thức lượng)
\(\Rightarrow AH^4=BD.CK.BC.AH\Leftrightarrow AH^3=BD.CK.BC\)(đpcm).
Kurokawa neko: câu a bạn có thể giải theo hệ thức lượng sẽ ngắn và đơn giản hơn nhiều