Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(f\left(5\right)=125a+25b+5c+d\)
\(f\left(4\right)=64a+16b+4c+d\)
\(f\left(7\right)=343a+49b+7c+d\)
\(f\left(2\right)=8a+4b+2c+d\)
Xét:
\(f\left(5\right)-f\left(4\right)=125a+25b+5c+d-64a-16b-4c-d\)
\(=61a+9b+c=2019\)
Khi đó:
\(f\left(7\right)-f\left(2\right)=343a+49b+7c+d-8a-4b-2c-d\)
\(=335a+45b+5c=5\left(61a+9b+c\right)+30=5\cdot2019+30⋮5\)
Vậy ta có đpcm
\(f\left(5\right)-f\left(4\right)=\left(125a+25b+5c+d\right)-\left(64a+16b+4c+d\right)=61a+9b+c=2019\)
\(f\left(7\right)-f\left(2\right)=\left(343a+49b+7c+d\right)-\left(8a+4b+2c+d\right)=335a+45b+5c=5.\left(61a+9b+c\right)+30a=2019+30a⋮3\)
\(\Rightarrowđpcm\)
Áp dụng công thức: (m – n). ( m+ n) = m2 – n2 => m2 – n2 chia hết (m – n)
Ta có : f(x)=ax2- bx + c
=> Tính chất: f (m) – f(n) chia hết ( m – n)
Ta có:
f(104) – f(9) chia hết 105
=> f(104) – f(9) chia hết 5
=> f(104) chia hết 5
Mặt khác:
f(104) – f(5) chia hết 99
=> f(104) – f(5) chia hết 9
=> f(104) chia hết 9
Vậy f(104) chia hết (5.9) = 45
\(f\left(0\right)=a.0^2+b.0+c=c\) có giá trị nguyên
\(f\left(1\right)=a+b+c\) có giá trị nguyên => a + b có giá trị nguyên
\(f\left(2\right)=4a+2b+c=2a+2\left(a+b\right)+c\)=> 2a có giá trị nguyên
=> 4a có giá trị nguyên
=> 2b có giá trị nguyên.
Với đa thức hệ số nguyên, xét 2 số nguyên m, n bất kì, ta có:
\(f\left(m\right)-f\left(n\right)=am^3+bm^2+cm+d-an^3-bn^2-cn-d\)
\(=a\left(m^3-n^3\right)+b\left(m^2-n^2\right)+c\left(m-n\right)\)
\(=a\left(m-n\right)\left(m^2+n^2+mn\right)+b\left(m-n\right)\left(m+n\right)+c\left(m-n\right)\)
\(=\left(m-n\right)\left[a\left(m^2+n^2+mn\right)+b\left(m+n\right)+c\right]⋮\left(m-n\right)\)
\(\Rightarrow f\left(m\right)-f\left(n\right)⋮m-n\) với mọi m, n nguyên
Giả sử tồn tại đồng thời \(f\left(7\right)=53\) và \(f\left(3\right)=35\)
Theo cmt, ta phải có: \(f\left(7\right)-f\left(3\right)⋮7-3\Leftrightarrow53-35⋮4\Rightarrow18⋮4\) (vô lý)
Vậy điều giả sử là sai hay không thể đồng thời tồn tại \(f\left(7\right)=53\) và \(f\left(3\right)=35\)
Ta có: \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\)
\(\implies\) \(f\left(-x\right)=a.\left(-x\right)^2-bx+c\)
\(\implies\) \(f\left(-x\right)=a.x^2-bx+c\)
\(\implies\)\(f\left(x\right)+f\left(-x\right)=ax^2+bx+c+ax^2-bx+c\)
\(\implies\)\(f\left(x\right)+f\left(-x\right)=2.ax^2+2c\)
\(\implies\)\(f\left(x\right)+f\left(-x\right)=2.\left(ax^2+c\right)\) chia hết cho 2
\(\implies\)\(f\left(x\right)+f\left(-x\right)\) chia hết cho 2 với mọi số nguyên x
\(F\left(5\right)-F\left(4\right)=2023\Leftrightarrow\left(25a+5b+c\right)-\left(16a+4b+c\right)=2023\)
\(\Leftrightarrow9a+b=2023\)
Khi đó:
\(F\left(9\right)-F\left(2\right)=\left(81a+9b+c\right)-\left(4a+2b+c\right)=77a+7b\)
\(=14a+7\left(9a+b\right)=14a+7.2023=7\left(2a+2023\right)⋮7\)
\(\Rightarrow F\left(9\right)-F\left(2\right)\) là hợp số
TK:
Để chứng minh rằng \(F(9) - F(2)\) là số hợp, ta sẽ sử dụng Định lí trung bình giá trị (Mean Value Theorem) cho đa thức.
Định lý trung bình giá trị nói rằng nếu \(f(x)\) là một hàm liên tục trên đoạn đóng \([a, b]\) và có đạo hàm trên đoạn mở \((a, b)\), thì tồn tại một điểm \(c\) trong \((a, b)\) sao cho \(f'(c)\) bằng trung bình cộng của \(f(b)\) và \(f(a)\):
\[
f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}
\]
Ứng dụng Định lí trung bình giá trị cho đa thức \(F(x)\) trên mỗi đoạn \([2, 9]\) và \([4, 5]\), ta có:
\[
F'(c_1) = \frac{F(9) - F(2)}{9 - 2}
\]
và
\[
F'(c_2) = \frac{F(5) - F(4)}{5 - 4}
\]
Do đó, ta có:
\[
F(9) - F(2) = F'(c_1) \cdot 7
\]
và
\[
F(5) - F(4) = F'(c_2) \cdot 1
\]
Từ giả thiết, ta có \(F(5) - F(4) = 2023\). Vì \(a\) là số nguyên dương, suy ra \(F'(c_2)\) cũng là số nguyên.
Vậy, \(F'(c_1) \cdot 7 = F(9) - F(2)\) cũng là một số nguyên, nhưng không thể là một số nguyên tố vì \(F'(c_2)\) là một số nguyên và \(7\) là một số nguyên khác \(1\). Do đó, \(F(9) - F(2)\) là một số hợp.