Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(x^2-2\left(m+1\right)x+3\left(m+1\right)-3=0\)
\(x^2-2nx+3n+3=\left(x-n\right)^2-\left(n^2-3n+3\right)=0\)\(\left(x-n\right)^2=\left(n-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}>0\forall n\) vậy luôn tồn tại hai nghiệm
\(\orbr{\begin{cases}x_1=\frac{n-\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\\x_2=\frac{n+\sqrt{\left(2n-3\right)^2+3}}{2}\end{cases}}\)
a) \(\frac{x_1}{x_2}=\frac{4x_1-x_2}{x_1}\Leftrightarrow\frac{x_1^2-4x_1x_2+x_2^2}{x_1x_2}=0\)
\(x_1x_2=n^2-\frac{\left(2n-3\right)^2+3}{4}=\frac{4n^2-4n^2+12n-9-3}{4}=3n-3\)
với n=1 hay m=0 : Biểu thức cần C/m không tồn tại => xem lại đề
a; \(\Delta\)' = \([\) -(m+1)\(]\) 2-1.(m2+m-1)
\(\Leftrightarrow\) m2 + 2m +1- m2- m + 1 \(\Leftrightarrow\) m + 2
phương trình có 2 nghiệm \(\Leftrightarrow\Delta\) > 0
\(\Leftrightarrow\) m + 2 > 0 \(\Leftrightarrow\) m > -2
vậy m > -2 thì phương trình có 2 nghiệm
b; x1 + x2 = \(\dfrac{-b}{a}\) = 2.(m + 1) = 2m + 2 (1)
x1 . x2 = \(\dfrac{c}{a}\) = m2 + m - 1 (2)
x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1.x2 (3)
thay (1) ; (2) vào (3)
\(\Leftrightarrow\) (2m + 2)2 - 2.(m2 + m - 1)
= 4m2+ 8m + 4 - 2m2- 2m + 2 = 2m2 + 6m + 6
Theo Vi et : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=2m+2\\x_1x_2=\frac{c}{a}=m^2+3\end{cases}}\)
\(A=m^2+3+2m+2=m^2+2m+5=\left(m+1\right)^2+4\ge4\)
Dấu ''='' xảy ra khi m = -1
Vậy GTNN A là 4 khi m =-1
Ta có : \(x^2-5x+m=0\left(a=1;b=-5;c=m\right)\)
Theo hệ thức Vi et ta có : \(x_1+x_2=5;x_1x_2=m\)
Theo bài ra ta có : \(x_1^2+x_2^2+7=2\sqrt{x_2^2-3}+6x_1\)
Thay \(x_1;x_2\)lần lượt là \(x;y\)thì ta có phương trình mới :
\(x^2+y^2+7=2\sqrt{y^2-3}+6x\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy+7=2\sqrt{y^2-3}+6x\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy+7=2\sqrt{y^2-\sqrt{3}^2}+6x\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy+7=2\sqrt{y-\sqrt{3}}^2+6x\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy+7=2y-2\sqrt{3}+6x\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy+7=2\left(y-\sqrt{3}+3x\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)^2-2xy+7}{2}=y-\sqrt{3}+3x\)
Mời idol về giải chứ chưa đi sâu vào mấy cái căn này lắm, phá mãi mới ra mà chả biết nhóm vào đâu.
Ta có \(\Delta\)'= \(\left(-m\right)^2-2m+2=\left(m-1\right)^2+1>0\veebar m\)
Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt
Theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2m\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=2m-2\end{matrix}\right.\)
Thay giá trị của \(x_1+x_2\) và \(x_1.x_2\) vào biểu thức A ta được :
\(A=\dfrac{6.\left(x_1+x_2\right)}{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+4\left(x_1+x_2\right)}=\dfrac{12m}{4m^2+4m+4}\)
\(A=\dfrac{3m}{m^2+m+1}\)
Cm: \(3m\le m^2+m+1\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng ) (dấu = xảy ra khi x=1)
Do đó \(3m\le m^2+m+1\) khi đó ta được:
\(A=\dfrac{3m}{m+m+1}\le1\)
Vậy với GTLN của A = 1 khi và chỉ khi m=1
\(\Delta'=\left(m+1\right)^2-\left(2m-3\right)=m^2+4>0,\forall m\inℝ\)
nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1+x_2\).
Theo định lí Viete:
\(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=2m+2\\x_1x_2=2m-3\end{cases}}\)
\(P=\left|\frac{x_1+x_2}{x_1-x_2}\right|=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\left|x_1-x_2\right|}=\frac{\left|x_1+x_2\right|}{\sqrt{\left(x_1+x_2\right)^2-4x_1x_2}}\)
\(=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{\left(2m+2\right)^2-4\left(2m-3\right)}}=\frac{\left|2m+2\right|}{\sqrt{4m^2+16}}=\frac{\left|m+1\right|}{\sqrt{m^2+4}}\ge0\)
Dấu \(=\)xảy ra khi \(m=-1\).
Xét pt (1) có:
\(\Delta=\left(-2m\right)^2-4\left(m-2\right)\)
= \(4m^2-4m+8\)
= \(\left(2m-1\right)^2+7>0\)
\(\Rightarrow\) Pt (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
Theo đề bài ta có:
\(\left(1+x_1\right)\left(2-x_2\right)+\left(1+x_2\right)\left(2-x_1\right)=x_1^2+x_2^2+2\)
\(\Leftrightarrow2-x_2+2x_1-x_1x_2+2-x_1+2x_2-x_1x_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+2\) \(\Leftrightarrow-\left(x_1+x_2\right)+2\left(x_1+x_2\right)+2-\left(x_1+x_2\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow-\left(x_1+x_2\right)\left[1-2+\left(x_1+x_2\right)\right]+2=0\)
\(\Leftrightarrow-2m\left(2m-1\right)+2=0\)
\(\Leftrightarrow-4m^2+2m+2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(2m+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m-1=0\\2m+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\m=\dfrac{-1}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy để pt (1) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(\left(1+x_1\right)\left(2-x_2\right)+\left(1+x_2\right)\left(2-x_1\right)=x_1^2+x_2^2+2\) thì \(m=1\) hoặc \(m=\dfrac{-1}{2}\)
\(\Delta\)' = m2 - m + 2 = m2 - 2.m.\(\dfrac{1}{2}\) + \(\dfrac{1}{4}\) - \(\dfrac{1}{4}\) + 2 = \(\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2\) + \(\dfrac{7}{4}\) \(\ge\) \(\dfrac{7}{4}\) > 0
\(\Rightarrow\) phương trình luôn có 2 nghiệm \(\forall\)m
áp dụng hệ thức vi ét ta có : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1.x_2=m-2\end{matrix}\right.\)
(1 + x1)(2 - x2) + (1 + x2)(2 - x1) = x12 + x22 + 2
2 - x2 + 2x1 - x1x2 + 2 - x1 + 2x2 - x1x2 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 + 2
= (x1 + x2)2 - (x1 + x2) - 2 = 0
thay vào ta có : (2m)2 - 2m - 2 = 0
4m2 - 2m - 2 = 0 ta có : a + b + c = 4 - 2 - 2 = 0
\(\Rightarrow\) phương trình có 2 nghiệm phân biệt
m1 = 1 ; m2 = \(\dfrac{c}{a}\) = \(-\dfrac{1}{2}\)
vậy m = 1 ; m = \(-\dfrac{1}{2}\) thảo mảng điều kiện bài toán