Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gọi số hạng đầu và công bội của cấp số nhân là: \(u_1;q\).
a) Theo tính chất của cấp số nhân ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1q^4-u_1=15\\u_1q^3-u_1q=6\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow\dfrac{u_1\left(q^4-1\right)}{u_1\left(q^3-q\right)}=\dfrac{15}{6}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(q^2-1\right)\left(q^2+1\right)}{q\left(q^2-1\right)}=\dfrac{15}{6}\)\(\Leftrightarrow\dfrac{q^2+1}{q}=\dfrac{15}{6}\)
\(\Leftrightarrow6\left(q^2+1\right)=15q\)\(\Leftrightarrow6q^2-15q+6=0\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}q=2\\q=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\).
Với \(q=2\).
Suy ra: \(u_1\left(q^4-q\right)=15\Rightarrow u_1=\dfrac{15}{q^4-q}=\dfrac{15}{14}\).
Với \(q=\dfrac{1}{2}\)
Suy ra \(u_1=\dfrac{15}{q^4-q}=\dfrac{-240}{7}\).
a)
{u6=192u7=384⇔{u1.q5=192(1)u1.q6=384(2){u6=192u7=384⇔{u1.q5=192(1)u1.q6=384(2)
Lấy (2) chia (1): q = 2 thế vào (1):
(1) ⇔ u1.25 = 192 ⇔ u1 = 6
Vậy u1 = 6 và q = 2
b) Ta có:
{u4−u2=72u5−u3=144⇔{u1.q3−u1.q=72u1.q4−u1.q2=144⇔{u1.q(q2−1)=72(1)u1.q2(q2−1)=144(2){u4−u2=72u5−u3=144⇔{u1.q3−u1.q=72u1.q4−u1.q2=144⇔{u1.q(q2−1)=72(1)u1.q2(q2−1)=144(2)
Lấy 2 chia 1: q = 2 thế vào (1)
(1) ⇔2u1(4 – 1) = 72 ⇔ u1 = 12
Vậy u1 = 12 và q = 2
c) Ta có:
{u2+u5−u4=10u3+u6−u5=20⇔{u1.q+u1.q4−u1.q3=10u1.q2(q2−1)=144(2)⇔{u1q(1+q3−q2)=10(1)u1q(1+q3−q2)=20(2){u2+u5−u4=10u3+u6−u5=20⇔{u1.q+u1.q4−u1.q3=10u1.q2(q2−1)=144(2)⇔{u1q(1+q3−q2)=10(1)u1q(1+q3−q2)=20(2)
Lấy (2) chia (1): q = 2 thế vào (1)
(1) ⇔ 2u1 (1 + 8 – 4) = 10 ⇔ u1 = 1
Vậy u1 = 1 và q = 2
\(u_3=u_2^2-u_2+2=4\)
\(S_1=1=\left(2-1\right)^2=\left(u_2-1\right)^2\)
\(S_2=2.5-1=9=\left(4-1\right)^2=\left(u_3-1\right)^2\)
Dự đoán \(S_n=\left(u_{n+1}-1\right)^2\)
Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp:
- Với \(n=1;2\) đúng (đã kiểm chứng bên trên với \(S_1;S_2\))
- Giả sử đẳng thức đúng với \(n=k\)
Hay \(S_k=\left(u_1^2+1\right)\left(u_2^2+1\right)...\left(u_k^2+1\right)-1=\left(u_{k+1}-1\right)^2\)
Ta cần chứng minh:
\(S_{k+1}=\left(u_1^2+1\right)\left(u_2^2+1\right)...\left(u_k^2+1\right)\left(u_{k+1}^2+1\right)-1=\left(u_{k+2}-1\right)^2\)
Thật vậy:
\(S_{k+1}=\left[\left(u_{k+1}-1\right)^2+1\right]\left(u_{k+1}^2+1\right)-1\)
\(=\left(u_{k+1}^2-2u_{k+1}+2\right)\left(u_{k+1}^2+1\right)-1\)
\(=\left(u_{k+2}-u_{k+1}\right)\left(u_{k+2}+u_{k+1}-1\right)-1\)
\(=u_{k+2}^2-u_{k+2}-u_{k+1}^2+u_{k+1}-1\)
\(=u_{k+2}^2-u_{k+2}+2-u_{k+2}-1\)
\(=\left(u_{k+2}-1\right)^2\) (đpcm)
Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là: u1 và d.
Ta có:
{u1+2u5=0S4=14⇔{u1+2.(u1+4d)=0[2u1+3d].42=14⇔{3u1+8d=02u1+3d=7⇔{u1=8d=−3.
b) Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng làn lượt là \(u_1\) d. Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+3d=10\\u_1+6d=19\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\d=3\end{matrix}\right.\).
c) Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là \(u_1\) và d. Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+u_1+4d-u_1-2d=10\\u_1+u_1+5d=7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1+2d=10\\2u_1+5d=7\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u_1=36\\d=-13\end{matrix}\right.\).
d) Gọi số hạng đầu và công sai của cấp số cộng lần lượt là \(u_1\) và d. Ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}u_1+6d-\left(u_1+2d\right)=8\\\left(u_1+d\right)\left(u_1+6d\right)=75\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4d=8\\\left(u_1+d\right)\left(u_1+6d\right)=75\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\\left(u_1+2\right)\left(u_1+12\right)=75\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u^2_1+14u_1-51=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}d=\\\left[{}\begin{matrix}u_1=3\\u_1=-17\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)
Vậy có hai cấp số cộng thỏa mãn là: \(\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u_1=3\end{matrix}\right.\) và \(\left\{{}\begin{matrix}d=2\\u_1=-17\end{matrix}\right.\).
a:
ĐKXĐ: \(q\notin\left\{0;1;-1\right\}\)
\(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u1\cdot q^4-u1=15\\u1\cdot q^3-u1\cdot q=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{q^4-1}{q^3-q}=\dfrac{15}{6}=\dfrac{5}{2}\\u1\left(q^4-1\right)=15\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}2q^4-2=5q^3-5q\\u1\left(q^4-1\right)=15\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2q^4-5q^3+5q-2=0\\u1\left(q^4-1\right)=15\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left(q-2\right)\left(q-1\right)\left(q+1\right)\left(2q-1\right)=0\\u1\left(q^4-1\right)=15\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}q=2\\q=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\\u1\left(q^4-1\right)=15\end{matrix}\right.\)
TH1: q=2
=>\(u1=\dfrac{15}{2^4-1}=\dfrac{15}{15}=1\)
TH2: q=1/2
=>\(u1=\dfrac{15}{\dfrac{1}{16}-1}=15:\dfrac{-15}{16}=-16\)
b:
\(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u1-u1\cdot q^2+u1\cdot q^4=65\\u1+u1\cdot q^6=325\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{q^4-q^2+1}{q^6+1}=\dfrac{1}{5}\\u1\left(1+q^6\right)=325\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{q^2+1}=\dfrac{1}{5}\\u1\left(q^6+1\right)=325\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}q^2=4\\u1\left(q^6+1\right)=325\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}q\in\left\{2;-2\right\}\\u1\left(q^6+1\right)=325\end{matrix}\right.\Leftrightarrow u1=\dfrac{325}{65}=5\)
c: \(HPT\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}u1\cdot q^3+u1\cdot q^5=-540\\u1\cdot q+u1\cdot q^3=-60\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{q^5+q^3}{q^3+q}=9\\u1\left(q+q^3\right)=-60\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}q^2=9\\u1\left(q+q^3\right)=-60\end{matrix}\right.\)
TH1: q=3
\(u1=-\dfrac{60}{3+3^3}=-\dfrac{60}{30}=-2\)
TH2: q=-3
=>\(u1=-\dfrac{60}{-3-27}=\dfrac{60}{30}=2\)