Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
ĐKXĐ: x,y >1
\(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{x-1}+x^2=\sqrt{y^2+5}+\sqrt{y-1}+y^2\\ \)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+5}-\sqrt{y^2+5}+\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right)+x^2-y^2=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{y^2+5}\right).\left(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}\right)}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right).\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}\right)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(x^2-y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(x^2+5\right)-\left(y^2+5\right)}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{\left(x-1\right)-\left(y-1\right)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(x^2-y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(x^2-y^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right).\left(\frac{x+y}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\frac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+y\right)=0\)
\(\Rightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y\)
Giả sử x=y
Khi đó:
\(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{x-1}+x^2\)
\(=\sqrt{y^2+5}+\sqrt{x-1}+y^2\)
Luôn đúng
Vậy ta suy ra đpcm
áp dụng cauchy ngược dấu là xong nhé bạn :>> mình ko đánh đc sorry bạn
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có : \(1=\left(x.\sqrt{1-y^2}+y.\sqrt{1-x^2}\right)^2\le\left(x^2+y^2\right)\left(1-y^2+1-x^2\right)\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2\right)\left(2-x^2-y^2\right)\ge1\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)-2\left(x^2+y^2\right)+1\le0\Leftrightarrow\left(x^2+y^2-1\right)^2\le0\)
\(\Rightarrow\left(x^2+y^2-1\right)^2=0\)\(\Leftrightarrow x^2+y^2=1\)
\(\sqrt{x-1}-y\sqrt{y}=\sqrt{y-1}-x\sqrt{x}\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right)+\left(x\sqrt{x}-y\sqrt{y}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+\sqrt{xy}+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y\)
\(\Rightarrow S=2x^2-8x+5=2\left(x-2\right)^2-3\ge-3\)
Tại sao từ:\(\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right)\) lại => đc: \(\frac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}\)??????????
a) DK: x>=2; y>=3; z>=5
\(\Leftrightarrow\left(x-2-2\sqrt{x-2}+1\right)+\left(y-3-2\sqrt{y-3}\cdot2+4\right)+\left(z-5-2\sqrt{z-5}\cdot3+9\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2+\left(\sqrt{y-3}-2\right)^2+\left(\sqrt{z-5}-3\right)^2=0\)(*)
VT(*) >= 0 với mọi x;y;z TMĐK nên để thỏa mãn (*) thì:
\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x-2}=1\\\sqrt{y-3}=2\\\sqrt{z-5}=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=3\\y=7\\z=14\end{cases}}}\)
b) x;y;z là nghiệm của PT: \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+y+z}{2}\left(1\right)\) (1)=> đk: x >=0; y >= 1 ; z >= 2.
Ta có:
- \(\left(\sqrt{x}-1\right)^2\ge0\Rightarrow x-2\sqrt{x}+1\ge0\Rightarrow\sqrt{x}\le\frac{x+1}{2}\)(a)
- Tương tự: \(\sqrt{y-1}\le\frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}\) (b)
- và: \(\sqrt{z-2}\le\frac{z-2+1}{2}=\frac{z-1}{2}\) (c)
- Do đó: \(\sqrt{x}+\sqrt{y-1}+\sqrt{z-2}=\frac{x+1+y+z-1}{2}=\frac{x+y+z}{2}\)hay VT(1) <= VP(1) với mọi x;y;z.
Vậy để (1) thỏa mãn thì dấu "=" xảy ra hay các BĐT (a); (b); (c) xảy ra. Khi đó, x = 1; y = 2; z = 3
ĐK,x\(\ge1,y\ge1\)
Ta có \(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{x-1}+x^2=\sqrt{y^2+5}+\sqrt{y-1}+y^2\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+5}-\sqrt{y^2+5}\right)+\left(\sqrt{x-1}-\sqrt{y-1}\right)+\left(x^2-y^2\right)=0\Leftrightarrow\dfrac{x^2+5-\left(y^2+5\right)}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\dfrac{x-1-\left(y-1\right)}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\dfrac{x-y}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+\left(x-y\right)\left(x+y\right)=0\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+y\right)=0\)(*)
Ta lại có \(\dfrac{x+y}{\sqrt{x^2+5}+\sqrt{y^2+5}}+\dfrac{1}{\sqrt{x-1}+\sqrt{y-1}}+x+y>0\)
Vậy (*)\(\Leftrightarrow x-y=0\Leftrightarrow x=y\)
Vậy \(\sqrt{x^2+5}+\sqrt{x-1}+x^2=\sqrt{y^2+5}+\sqrt{y-1}+y^2\) thì x=y