B
1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
9 tháng 12 2018
2) \(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15a}{16}+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(S\ge\frac{15a}{16}+2.\sqrt{\frac{a}{16}.\frac{1}{a}}=\frac{15.4}{16}+2.\sqrt{\frac{1}{16}}=\frac{15}{4}+2.\frac{1}{4}=\frac{15}{4}+\frac{1}{2}=\frac{15}{4}+\frac{2}{4}=\frac{17}{4}\)
\(S=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
T
9 tháng 12 2018
kudo shinichi sao cách làm giống của thầy Hồng Trí Quang vậy bạn?
\(S=a+\frac{1}{a}=\frac{15}{16}a+\left(\frac{a}{16}+\frac{1}{a}\right)\ge\frac{15}{16}a+2\sqrt{\frac{1.a}{16.a}}=\frac{15}{16}a+2.\frac{1}{4}\)
\(=\frac{15}{16}.4+\frac{1}{2}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
Dấu "=" xảy ra khi a = 4
Vậy \(S_{min}=\frac{17}{4}\Leftrightarrow a=4\)
2 tháng 10 2021
Tham khảo:
Với các số thực không âm a,b,c thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=1\), tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q=\s... - Hoc24
28 tháng 9 2019
Ta có:
\(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\le a^2+b^2+c^2=2\left(a+b+c\right)\)
=> \(\left(a+b+c\right)^2-6\left(a+b+c\right)\le0\)
=> \(0\le a+b+c\le6.\)
\(T=\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+a}+\frac{c}{c+1}=1-\frac{1}{a+1}+1-\frac{1}{b+1}+1-\frac{1}{c+1}\)
\(=3-\left(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\right)\le3-\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a+b+c+3}\le3-\frac{3^2}{6+3}=2\)
"=" xảy ra <=> \(a=b=c\)và \(a+b+c=6\)<=> \(a=b=c=2\)
Vậy max T = 2 khi và chỉ khi a=b=c =2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
24 tháng 8 2021
\(\dfrac{1}{\left(a+b+a+c\right)^2}\le\dfrac{1}{4\left(a+b\right)\left(a+c\right)}=\dfrac{1}{4\left(a^2+ab+bc+ca\right)}\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)\)
\(\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{2}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)\)
Tương tự và cộng lại:
\(P\le\dfrac{1}{64}\left(\dfrac{4}{a^2}+\dfrac{4}{b^2}+\dfrac{4}{c^2}\right)=\dfrac{1}{16}.3=\dfrac{3}{16}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
24 tháng 8 2021
Áp dụng bđt: \(\dfrac{1}{x+y}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\left(1\right)\)
\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{\left(a+b\right)+\left(a+c\right)}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\dfrac{1}{16}\left[\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\right)^2+\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\right)^2+\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)^2\right]\)\(\Rightarrow16P\le\dfrac{2}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{2}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{2}{\left(a+c\right)^2}+\dfrac{2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\dfrac{2}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
Áp dụng: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+xz\left(2\right)\) với a+b=x,b+c=y,c+a=z
\(\Rightarrow16P\le\dfrac{4}{\left(a+b\right)^2}+\dfrac{4}{\left(b+c\right)^2}+\dfrac{4}{\left(c+a\right)^2}\)
Ta có: \(\dfrac{1}{\left(a+b\right)^2}\le4.16.\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2\)(do (1))
\(\Rightarrow16P\le\dfrac{1}{4}.16\left[\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)^2+\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2+\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{a}\right)^2\right]=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}+\dfrac{2}{ab}+\dfrac{2}{bc}+\dfrac{2}{ca}\right)\le\dfrac{1}{4}.4.\left(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}\right)=3\)(do(2) và \(\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=3\))
\(\Rightarrow P\le\dfrac{3}{16}\)
\(ĐTXR\Leftrightarrow a=b=c=1\)
1 tháng 1 2020
\(P^2=a+b+c+a^2+b^2+c^2+2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(b+c^2\right)}+2\sqrt{\left(b+c^2\right)\left(c+a^2\right)}+2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(c+a^2\right)}.\)
Theo bđt Bunhiacopski ta có
\(2\sqrt{\left(a+b^2\right)\left(b+c^2\right)}\ge2\sqrt{b^3}\)(vì \(a,c\ge0\))
Tương tự \(2\sqrt{\left(b+c^2\right)\left(c+a^2\right)}\ge2\sqrt{c^3}\)
\(2\sqrt{\left(c+a^2\right)\left(a+b^2\right)}\ge2\sqrt{a^3}\)
\(\Rightarrow P^2\ge a+b+c+a^2+b^2+c^2+2\sqrt{a^3}+2\sqrt{b^3}+2\sqrt{c^3}\)
Theo gt : \(\hept{\begin{cases}a,b,c\ge0\\a^2+b^2+c^2=1\end{cases}\Rightarrow0\le a,b,c\le1}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a\ge a^2,b\ge b^2,c\ge c^2\\a^3\ge a^4,b^3\ge b^4,c^3\ge c^4\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c\ge a^2+b^2+c^2=1\\2\sqrt{a^3}+2\sqrt{b^3}+2\sqrt{c^3}\ge2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2\end{cases}}\)
\(\Rightarrow P^2\ge1+1+2=4\)\(\Rightarrow P\ge2\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=0,c=1 và các hoán vị của nó
1 tháng 1 2020
Tìm Max
Theo bđt Bunhiacopski ta có
\(P^2\le\left(1+1+1\right)\left(a+b+c+a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=3\left(a+b+c+a^2+b^2+c^2\right)\)\(\le3\left(\sqrt{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}+a^2+b^2+c^2\right)\)
\(=3\left(1+\sqrt{3}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\sqrt{3\left(1+\sqrt{3}\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
KN
3 tháng 6 2020
Ta có: \(a^2-ab+3b^2+1=\left(a^2-2ab+b^2\right)+ab+\left(b^2+1\right)+b^2\)
\(=\left(a-b\right)^2+ab+\left(b^2+1\right)+b^2\ge ab+2b+b^2\)
\(=b\left(a+b+2\right)\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{b\left(a+b+2\right)}}\)(1)
Tương tự: \(\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{c\left(b+c+2\right)}}\)(2); \(\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+3a^2+1}}\le\frac{1}{\sqrt{a\left(c+a+2\right)}}\)(3)
Cộng theo vế của 3 BĐT (1), (2), (3) và sử dụng AM - GM kết hợp liên tục BĐT \(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\), ta được:
\(P\le\frac{1}{\sqrt{b\left(a+b+2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{c\left(b+c+2\right)}}+\frac{1}{\sqrt{a\left(c+a+2\right)}}\)
\(=\Sigma\frac{2}{\sqrt{4b\left(a+b+2\right)}}\)\(\le\Sigma\left(\frac{1}{4b}+\frac{1}{a+b+2}\right)\)(AM - GM)
\(=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\text{}\Sigma\left(\frac{1}{a+b+2}\right)\)
\(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\text{}\Sigma\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}\right)+\frac{1}{2}\right]\)
\(\le\frac{3}{4}+\text{}\left[\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}+\text{}\Sigma\frac{1}{16}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\right]\)
\(=\frac{3}{4}+\text{}\left[\frac{3}{8}+\text{}\frac{1}{8}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\right]\le\frac{3}{4}+\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\frac{3}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1
KN
3 tháng 6 2020
Dòng thứ 10 sửa lại cho mình là \(\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\Sigma\left[\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{2}\right)\right]\)
Do olm có lỗi là mỗi lần bấm dấu ngoặc là số nó tự động nhảy ra ngoài
Ta có: \(a^2+\dfrac{1}{3}\ge2a.\dfrac{1}{\sqrt{3}},b^2+\dfrac{1}{3}\ge2b.\dfrac{1}{\sqrt{3}},c^2+\dfrac{1}{3}\ge2c.\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
suy ra \(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\left(a+b+c\right)\le a^2+b^2+c^2+1\)
\(\Leftrightarrow a+b+c\le\sqrt{3}\)
Dấu \(=\) xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).