Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Từ giả thiết ta suy ra
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+c=3\)
Đặt \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{a};\dfrac{1}{b};c\right)\Rightarrow x+y+z=3\)
\(VT=\dfrac{1}{\sqrt{xy+x+y}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz+y+z}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz+x+z}}\)
Ta chứng minh: \(\left(x+1+y\right)^2\ge3\left(xy+x+y\right)\)(Luôn đúng)
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{\sqrt{3}}{x+y+1}+\dfrac{\sqrt{3}}{y+z+1}+\dfrac{\sqrt{3}}{z+x+1}\ge\dfrac{9\sqrt{3}}{2\left(x+y+z\right)+3}=\sqrt{3}\)
1,
\(\frac{a}{1+\frac{b}{a}}+\frac{b}{1+\frac{c}{b}}+\frac{c}{1+\frac{a}{c}}=\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{a+b+c}{2}\ge\frac{\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca}}{2}=\frac{2}{2}=1\left(Q.E.D\right)\)
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
ơ đang chờ mấy bạn top bxh vô trả lời mà hỏng thấy đou
hộ mình với:(
\(\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)\le\left(\frac{4a+4b}{2}\right)^2=\left(2a+2b\right)^2\)
=>\(\frac{1}{2}\sqrt{\left(a+3b\right)\left(b+3a\right)}\le\frac{1}{2}\left(2a+2b\right)=a+b\)
Mình làm phần dễ nhất rồi, còn lại của bạn đó ^^
Áp dụng bất đẳng thức Cô - si, ta có:
\(a\sqrt{b-1}=a\sqrt{\left(b-1\right).1}\le a.\frac{b-1+1}{2}=\frac{ab}{2}\)(1)
\(b\sqrt{a-1}=b\sqrt{\left(a-1\right).1}\le b.\frac{a-1+1}{2}=\frac{ab}{2}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
\(\Rightarrow\frac{6}{a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}}\ge\frac{6}{ab}\)(Đẳng thức xảy ra khi a = b = 2)
\(VT=\frac{6}{a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}}+\sqrt{3ab+4}\ge\frac{6}{ab}+\sqrt{3ab+4}\)
\(=\frac{18}{3ab}+\sqrt{3ab+4}\)
Đặt \(t=\sqrt{3ab+4}\Rightarrow3ab=t^2-4\). Khi đó\(VT\ge\frac{18}{t^2-4}+t=\frac{18}{\left(t+2\right)\left(t-2\right)}+\frac{3}{4}\left(t-2\right)\)
\(+\frac{1}{4}\left(t+2\right)+1\ge3\sqrt[3]{18.\frac{3}{4}.\frac{1}{4}}+1=\frac{11}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi t = 4 hay a = b = 2
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\sqrt{b-1}=\sqrt{1\left(b-1\right)}\le\frac{1+b-1}{2}=\frac{b}{2}\Rightarrow a\sqrt{b-1}\le\frac{ab}{2}\)
Tương tự với \(b\sqrt{a-1}\)ta được
\(\frac{6}{a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}}+\sqrt{3ab+4}\ge\frac{6}{ab}+\sqrt{3ab+4}=\frac{18}{3ab}+\sqrt{3ab+4}\)
Vậy ta cần chứng minh
\(\frac{18}{3ab}+\sqrt{3ab+4}\ge\frac{11}{2}\)
Vì a,b đều lớn hơn 1 nên ta đặt \(t=\sqrt{3ab+4}>0\)khi đó bđt cần chứng minh trở thành
\(\frac{18}{t^2-4}+t\ge\frac{11}{2}\)
<=> \(\frac{\left(2t+5\right)\left(t-4\right)^2}{t^2-4}\ge0\)
Vậy t>=4
BĐT xảy ra khi a=b=1