Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
cho x,y,z nguyên và (x-y)*(y-z)*(z-x)=m. Chứng minh rằng: (x-y)^3 + (y-z)^3 + (z-x)^3 chia hết cho m
Một bài toán "lừa" người ta:
Đặt \(a=x-y,b=y-z,c=z-x\Rightarrow a+b+c=0\).
Ta có hằng đẳng thức \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca\right)\).
Trong trường hợp này thì \(a+b+c=0\) nên suy ra đpcm.
Ta cần chứng minh biểu thức:
\(A = 3 x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + 3 y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + 3 z^{n} \left(\right. y - x \left.\right)\)
chia hết cho:
\(B = \left(\right. x - y \left.\right)^{3} + \left(\right. y - z \left.\right)^{3} + \left(\right. z - x \left.\right)^{3}\)
với \(x , y , z\) đôi một khác nhau, và \(n \in \mathbb{Z} , n > 1\).
Bước 1: Phân tích mẫu số B
Ta xét:
\(B = \left(\right. x - y \left.\right)^{3} + \left(\right. y - z \left.\right)^{3} + \left(\right. z - x \left.\right)^{3}\)
Sử dụng hằng đẳng thức:
\(a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c \text{khi}\&\text{nbsp}; a + b + c = 0\)
Đặt:
- \(a = x - y\)
- \(b = y - z\)
- \(c = z - x\)
Khi đó:
\(a + b + c = \left(\right. x - y \left.\right) + \left(\right. y - z \left.\right) + \left(\right. z - x \left.\right) = 0 \Rightarrow a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3 a b c \Rightarrow B = 3 \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right)\)
⇒ Kết luận:
\(B = 3 \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right)\)
Bước 2: Phân tích tử số A
Xét:
\(A = 3 x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + 3 y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + 3 z^{n} \left(\right. y - x \left.\right)\)
Rút 3 ra ngoài:
\(A = 3 \left[\right. x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + z^{n} \left(\right. y - x \left.\right) \left]\right.\)
Gọi:
\(A^{'} = x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + z^{n} \left(\right. y - x \left.\right)\)
Mục tiêu: Chứng minh \(A^{'}\) chia hết cho \(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right)\)
Bước 3: Ý tưởng dùng đối xứng và định lý đa thức
Đặt \(f \left(\right. x , y , z \left.\right) = x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + z^{n} \left(\right. y - x \left.\right)\)
Tính đối xứng:
- Nếu hoán vị các biến, biểu thức \(f \left(\right. x , y , z \left.\right)\) chỉ đổi dấu, không thay giá trị tuyệt đối. Nên \(f \left(\right. x , y , z \left.\right)\) là một đa thức phản đối xứng.
Ta sẽ chứng minh:
\(\left(\right. x - y \left.\right) , \left(\right. y - z \left.\right) , \left(\right. z - x \left.\right) \mid f \left(\right. x , y , z \left.\right)\)
Nếu \(x = y \Rightarrow f \left(\right. x , x , z \left.\right) = x^{n} \left(\right. z - x \left.\right) + x^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + z^{n} \left(\right. x - x \left.\right) = x^{n} \left(\right. z - x + x - z \left.\right) + 0 = 0\)
⇒ \(x - y \mid f \left(\right. x , y , z \left.\right)\)
Tương tự:
- \(y = z \Rightarrow f \left(\right. x , y , y \left.\right) = 0 \Rightarrow y - z \mid f\)
- \(z = x \Rightarrow f \left(\right. x , y , x \left.\right) = 0 \Rightarrow z - x \mid f\)
⇒ Vậy: \(\left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right) \mid A^{'}\)
⇒ \(3 \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right) \mid A\)
Mà \(B = 3 \left(\right. x - y \left.\right) \left(\right. y - z \left.\right) \left(\right. z - x \left.\right)\)
✅ Kết luận:
\(A \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; B\)
hay:
\(3 x^{n} \left(\right. z - y \left.\right) + 3 y^{n} \left(\right. x - z \left.\right) + 3 z^{n} \left(\right. y - x \left.\right) \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; \left(\right. x - y \left.\right)^{3} + \left(\right. y - z \left.\right)^{3} + \left(\right. z - x \left.\right)^{3}\)
với mọi số nguyên \(n > 1\), và \(x , y , z\) đôi một khác nhau.
Nếu bạn cần chứng minh bằng phương pháp khác (ví dụ: dùng định lý đồng dư, đa thức hoặc kiểm tra cụ thể), mình có thể hỗ trợ tiếp.
x^3+y^3 = 2.(z^3+t^3)
<=> x^3+y^3+z^3+t^3 = 3.(z^2+t^3) chia hết cho 3
Xét : x^3-x = x.(x^2-1) = (x-1).x.(x+1) chia hết cho 3 ( vì là tích 3 số nguyên liên tiếp )
Tương tự : y^3-y , z^3-z và t^3-t đều chia hết cho 3
=> (x^3+y^3+z^3+t^3)-(x+y+z+t) chia hết cho 3
Mà x^3+y^3+z^3+t^3 chia hết cho 3
=> x+y+z+t chia hết cho 3
Tk mk nha
a) x4+x3+2x2+x+1=(x4+x3+x2)+(x2+x+1)=x2(x2+x+1)+(x2+x+1)=(x2+x+1)(x2+1)
b)a3+b3+c3-3abc=a3+3ab(a+b)+b3+c3 -(3ab(a+b)+3abc)=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)((a+b)2-(a+b)c+c2)-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+2ab+b2-ac-ab+c2-3ab)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-ac-bc)
c)Đặt x-y=a;y-z=b;z-x=c
a+b+c=x-y-z+z-x=o
đưa về như bài b
d)nhóm 2 hạng tử đầu lại và 2hangj tử sau lại để 2 hạng tử sau ở trong ngoặc sau đó áp dụng hằng đẳng thức dề tính sau đó dặt nhân tử chung
e)x2(y-z)+y2(z-x)+z2(x-y)=x2(y-z)-y2((y-z)+(x-y))+z2(x-y)
=x2(y-z)-y2(y-z)-y2(x-y)+z2(x-y)=(y-z)(x2-y2)-(x-y)(y2-z2)=(y-z)(x2-2y2+xy+xz+yz)
Có:(x-y)3+(y-z)3+(z-x)3
= x3-3x2y+3xy2-y3+y3-3y2z+3yz2-z3+z3-3z2x+3zx2-x3
= 3(x2y+xy2-y2z+yz2-z2x+zx2) \(⋮\) 3
\(\Rightarrow\)ĐPCM
a/ \(C=\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\)
b/ Ta có:
\(\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)-2xyz\)
\(=\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-3xyz\)
Vì \(x+y+z⋮6\)
Nên trong 3 số x, y, z có ít nhất 1 số chẵn
\(\Rightarrow3xyz⋮6\)
\(\Rightarrow\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)-3xyz⋮6\)