Question

[Hùng Bùi Huy]

Cho các số dương x,y thỏa mãn x+y=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=\(\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)

Giúp mình nhé mn

Answer 1

[Nguyễn Hưng Phát]

Áp dụng BĐT \(a^2+b^2\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\) và BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\) ta có:

\(P=\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\ge\frac{\left(2x+\frac{1}{x}+2y+\frac{1}{y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)

\(\ge\frac{\left(2+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}=\frac{\left(2+\frac{4}{1}\right)^2}{2}=\frac{6^2}{2}=18\)

Nên GTNN của P là 18 đạt được khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

Answer 2

[Hùng Bùi Huy]

bạn thật là thông minh quá đi^^