Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Câu trả lời hay nhất: Theo hằng đẳng thức
a^2+b^2=(a+b)^2-2ab;
c^2+d^2=(c+d)^2-2cd.
Suy ra a^2+b^2 và a+b cùng chẵn, hoặc cùng lẻ;
c^2+d^2 cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Kết hợp với
a^2+b^2=c^2+d^2 ta suy ra a+b và c+d cùng chẵn,
hoặc cùng lẻ. Từ đó a+b+c+d chẵn, và vì
a+b+c+d>=4 nên a+b+c+d là hợp số.
Ta có: A=3(a+c)(b+d) <=> 2A/3 = 2(a+c)(b+d)
Theo Cauchy => 2A/3 \(\le\)(a+c)2+(b+d)2
Mặt khác, theo BĐT Bunhiacopxki có:
\(\left(a+c\right)^2=\left(1.a+\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}c\right)^2\le\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(a^2+2c^2\right)=\frac{3}{2}\left(a^2+2c^2\right)\)
Tương tự: \(\left(b+d\right)^2=\left(1.b+\frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}d\right)^2\le\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(b^2+2d^2\right)=\frac{3}{2}\left(b^2+2d^2\right)\)
=> \(\frac{2A}{3}\le\frac{3}{2}\left(a^2+b^2+2c^2+2d^2\right)=\frac{3}{2}.1=\frac{3}{2}\)
=> \(A\le\frac{9}{4}=>A_{max}=\frac{9}{4}\)
1, hiển nhiên a+b>0
có a^2+2ab+2b^2-2b=8=>(a+b)^2=8-(b^2-2b)=9-(b-1)^2 </ 9 => a+b </ 3
\(a+b+1=8ab\Leftrightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{ab}=8\)
Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{a}\\y=\frac{1}{b}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow x+y+xy=8\) \(\Rightarrow P=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=x^2+y^2\)
\(8=x+y+xy\le\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}+\frac{x^2+y^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2\sqrt{2}\sqrt{x^2+y^2}-16\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x^2+y^2}+4\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{x^2+y^2}-2\sqrt{2}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+y^2}\ge2\sqrt{2}\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\ge8\)
\(\Rightarrow P_{min}=8\) khi \(x=y=2\) hay \(a=b=\frac{1}{2}\)
Có thể tách A để sử dụng BĐT Cauchy thay vì đánh giá bằng BPT như trên, nhưng tốn công hơn rất nhiều:
Ta sẽ thêm bớt từ từ để xuất hiện biểu thức điều kiện \(x+y+xy\) (1)
Dễ dàng nhẩm ra điểm rơi \(x=y=2\) vậy thì:
\(x^2+4+y^2+4\ge4x+4y\) (2)
\(x^2+y^2\ge2xy\)
Do hệ số của \(x+y\) và \(xy\) ở (1) như nhau nên ta phải biến thành \(2x^2+2y^2\ge4xy\) (3)
Cộng vế với vế (2) và (3) lại:
\(3x^2+3y^2+8\ge4\left(x+y+xy\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+\frac{8}{3}\ge\frac{4}{3}\left(x+y+xy\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2\ge\frac{4}{3}\left(x+y+xy\right)-\frac{8}{3}=8\)
Nói chung là khá mất công :(