Question

[Tường Nguyễn Thế]

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: \(\sqrt{a-c}+\sqrt{b-c}=\sqrt{a+b}\) Tính giá trị biểu thức: \(P=\dfrac{bc}{a^2}+\dfrac{ac}{b^2}-\dfrac{ab}{c^2}\)

Answer 1

[Akai Haruma]

Lời giải:

\(\sqrt{a-c}+\sqrt{b-c}=\sqrt{a+b}\)

\(\Leftrightarrow a-c+b-c+2\sqrt{(a-c)(b-c)}=a+b\)

\(\Leftrightarrow c=\sqrt{(a-c)(b-c)}\)

\(\Rightarrow c^2=(a-c)(b-c)=ab-ac-bc+c^2\)

\(\Leftrightarrow ab-ac-bc=0\Leftrightarrow ac+bc-ab=0\)

Ta có: \(P=\frac{bc}{a^2}+\frac{ac}{b^2}-\frac{ab}{c^2}=\frac{(bc)^3+(ac)^3-(ab)^3}{a^2b^2c^2}\) \((1)\)

Ta nhớ đến công thức sau:

\(x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\)

(để cm công thức này rất đơn giản bằng việc sử dụng hằng đẳng thức khai triển)

Khi đó, thay thế: \((x,y,z)=(bc,ac,-ab)\)

\(\Rightarrow (bc)^3+(ac)^3-(ab)^3+3a^2b^2c^2=(bc+ac-ab)(.....)=0\)

\(\Rightarrow (bc)^3+(ac)^3-(ab)^3=-3a^2b^2c^2\) (2)

Từ \((1),(2)\Rightarrow P=\frac{-3a^2b^2c^2}{a^2b^2c^2}=-3\)