Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Gỉa thiết đã cho có thể viết lại thành
(a/2)2+(b/2)2+(c/2)2+2.a/2.b/2.c/2=1
Từ đó suy ra 0<a/2,b/2,c/2≤1.
Như vậy tồn tại A,B,Cthỏa A+B+C=πA+B+C=r và a/2=cosA,b/2=cosB,c/2=cosC.
Từ một BĐT cơ bản cosA+cosB+cosC≤3/2
ta có ngay a+b+c≤3
<=> a^2+b^2+c^2 =< 3^2 =< 9
ta có:\(0\le a\le3\Rightarrow a\left(a-3\right)\le0\)
\(\Rightarrow a^2-3a\le0\)
C/m tương tư ta đc: \(b^2-3b\le0\)
\(c^2-3c\le0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2-3\left(a+b+c\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\le3.4=12\) (vì a+b+c=4)
Ta có : \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2009}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{2007}{ab+bc+ca}\)
Áp dụng bđt Cauchy Schwaz dạng Engel ta có :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}++\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}\ge\frac{\left(1+1+1\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}\)
\(=\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}\le\frac{9}{3^2}=1\)(1)
Ta lại có : \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+ac+bc\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\right)\ge3ab+3bc+3ac\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+ac+bc\right)\Leftrightarrow9\ge3\left(ab+ac+bc\right)\)
\(\Rightarrow ab+ac+bc\le3\Rightarrow\frac{2007}{ab+ac+bc}\ge\frac{2007}{3}=669\)(2)
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ac}+\frac{1}{ab+ac+bc}+\frac{2007}{ab+ac+bc}\ge669+1=670\)
Hay \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2009}{ab+bc+ac}\ge670\)(đpcm) (Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1)
Ta có: (x−y)2=(x+y)2−4xy=2012−4xy(x−y)2=(x+y)2−4xy=2012−4xy
Như thế, để tìm GTNN,GTLN của xyxy, tương đương với việc ta tìm GTLN,GTNN của A=(x−y)2=(|x−y|)2A=(x−y)2=(|x−y|)2 hay cần tìm GTLN,GTNN của |x−y||x−y|
Không mất tính tổng quát giả sử: x≥yx≥y thì: x≥101x≥101; y≤100y≤100
Khi đó: |x−y|=x−y=x+y−2y=201−2y|x−y|=x−y=x+y−2y=201−2y
Ta có: 1≤y≤1001≤y≤100 nên: 1≤|x−y|=201−2y≤1991≤|x−y|=201−2y≤199
Lập luận đi ngược lại thì tìm được các cực trị
Câu 3. Dự đoán dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Dùng phương pháp chọn điểm rơi thôi :)
LG
Áp dụng bđt Cô-si được \(a^2+b^2+c^2\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow1\ge3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{3}\ge\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{27}\ge a^2b^2c^2\)
\(\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{27}}\ge abc\)
Khi đó :\(B=a+b+c+\frac{1}{abc}\)
\(=a+b+c+\frac{1}{9abc}+\frac{8}{9abc}\)
\(\ge4\sqrt[4]{abc.\frac{1}{9abc}}+\frac{8}{9.\frac{1}{\sqrt{27}}}\)
\(=4\sqrt[4]{\frac{1}{9}}+\frac{8\sqrt{27}}{9}=\frac{4}{\sqrt[4]{9}}+\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{12}{\sqrt{3}}=4\sqrt{3}\)
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Vậy .........
2, \(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)
\(A=\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)
\(A=\left[\frac{a^2}{b+c}+\frac{\left(b+c\right)}{4}\right]+\left[\frac{b^2}{a+c}+\frac{\left(a+c\right)}{4}\right]+\left[\frac{c^2}{a+b}+\frac{\left(a+b\right)}{4}\right]-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(A\ge2.\sqrt{\frac{a^2}{4}}+2.\sqrt{\frac{b^2}{4}}+2.\sqrt{\frac{c^2}{4}}-\frac{\left(a+b+c\right)}{2}\)
\(A\ge a+b+c-\frac{6}{2}\)
\(A\ge6-3\)
\(A\ge3\)
Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(\frac{a^2}{b+c}=\frac{b+c}{4}\Leftrightarrow4a^2=\left(b+c\right)^2\Leftrightarrow2a=b+c\)(1)
\(\frac{b^2}{a+c}=\frac{a+c}{4}\Leftrightarrow4b^2=\left(a+c\right)^2\Leftrightarrow2b=a+c\)(2)
\(\frac{c^2}{a+b}=\frac{a+b}{4}\Leftrightarrow4c^2=\left(a+b\right)^2\Leftrightarrow2c=a+b\)(3)
Lấy \(\left(1\right)-\left(3\right)\)ta có:
\(2a-2c=c+b-a-b=c-a\)
\(\Rightarrow2a-2c-c+a=0\)
\(\Leftrightarrow3.\left(a-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a-c=0\Leftrightarrow a=c\)
Chứng minh tương tự ta có: \(\hept{\begin{cases}b=c\\a=b\end{cases}}\)
\(\Rightarrow a=b=c=2\)
Vậy \(A_{min}=3\Leftrightarrow a=b=c=2\)
\(\frac{a}{1+b^2}=\frac{a\left(1+b^2\right)-ab^2}{1+b^2}=a-\frac{ab^2}{1+b^2}\ge a-\frac{ab^2}{2b}=a-\frac{ab}{2}\)
Tương tự:
\(\frac{b}{1+c^2}\ge b-\frac{bc}{2};\frac{c}{1+a^2}\ge c-\frac{ca}{2}\)
Cộng lại:
\(\frac{a}{1+b^2}+\frac{b}{1+c^2}+\frac{c}{1+a^2}\ge a+b+c-\frac{ab}{2}-\frac{bc}{2}-\frac{ca}{2}\)
\(\Rightarrow VT\ge a+b+c\)
Mặt khác:
\(\frac{9}{a+b+c}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\Rightarrow9\le3\left(a+b+c\right)\Rightarrow a+b+c\ge3\)
Khi đó:
\(VT\ge a+b+c\ge3\left(đpcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=1\)
đề chiều nay e thi đấy
thoi nghỉ ik e :))