Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cosi ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{x^3}{1+y}+\frac{1+y}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{1+y}\cdot\frac{1+y}{4}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3x}{2}\\\frac{y^3}{1+z}+\frac{1+z}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{y^3}{1+z}\cdot\frac{1+z}{4}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3y}{2}\\\frac{z^3}{1+x}+\frac{1+x}{4}+\frac{1}{2}\ge3\sqrt[3]{\frac{z^3}{1+x}\cdot\frac{1+x}{4}\cdot\frac{1}{2}}=\frac{3z}{2}\end{cases}}\)
Cộng vế theo vế ta được \(P+\frac{3+x+y+z}{4}+\frac{3}{2}\ge\frac{3}{2}\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow P\ge\frac{5}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{9}{4}\)
Mà ta có \(\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)\ge9\Rightarrow x+y+z\ge3\)
Do đó \(P\ge\frac{5}{4}\cdot3-\frac{9}{4}=\frac{3}{2}\). Dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Vậy minP=\(\frac{3}{2}\)khi x=y=z=1
Bài này có cách lập bảng biến thiên,nhưng mình sẽ làm cách đơn giản
Từ giả thiết \(x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow0< x,y,z< 1\)
Áp dụng Bất Đẳng Thức Cosi cho 3 cặp số dương \(2x^2;1-x^2;1-x^2\)
\(\frac{2x^2+\left(1-x^2\right)+\left(1-x^2\right)}{3}\ge\sqrt[3]{2x^2\left(1-x^2\right)^2}\le\frac{2}{3}\)
\(\Leftrightarrow x\left(1-x^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\Leftrightarrow\frac{x}{1-x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\Leftrightarrow\frac{x}{y^2+z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\left(1\right)\)
Tương tự ta có \(\hept{\begin{cases}\frac{y}{z^2+x^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\left(2\right)\\\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng các vế (1), (2) và (3) ta được \(\frac{x}{y^2+z^2}+\frac{y}{z^2+x^2}+\frac{z}{x^2+y^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(1=\frac{1}{x}+\frac{3^2}{y}\ge\frac{\left(1+3\right)^2}{x+y}=\frac{16}{x+y}\)
\(\Rightarrow x+y\ge16\)
\(P_{min}=16\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=4\\y=12\end{matrix}\right.\)
đặt \(\left(a;b;c\right)=\left(\sqrt{\frac{yz}{x}};\sqrt{\frac{zx}{y}};\sqrt{\frac{xy}{z}}\right)\)\(\Rightarrow\)\(a^2+b^2+c^2=1\)
\(A=\Sigma\frac{1}{1-ab}=\Sigma\frac{2ab}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)-2ab}+3\le\frac{1}{2}\Sigma\frac{\left(a+b\right)^2}{b^2+c^2+c^2+a^2}\)
\(\le\frac{1}{2}\Sigma\left(\frac{a^2}{c^2+a^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}\right)=\frac{9}{2}\)
dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(x=y=z=\frac{1}{3}\)