Question

[Trần Hoàng Thiên Bảo]

Cho biểu thức

\(B=\frac{x\sqrt{x}+15\sqrt{x}-35}{x-\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}\)

a) Tìm x để B có nghĩa

b) Rút gọn B

c) Tính giá trị của B khi \(x=21-4\sqrt{5}\)

d) Tìm x để B = 6

e) Tìm GTNN của B

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

a/ ĐKXĐ : \(0\le x\ne4\)

\(B=\frac{x\sqrt{x}+15\sqrt{x}-35}{x-\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}-\frac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}+15\sqrt{x}-35-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)-\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}+15\sqrt{x}-35-x+4-x+1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\)

\(=\frac{x\sqrt{x}-2x+15\sqrt{x}-30}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(x+15\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{x+15}{\sqrt{x}+1}\)

c/ \(x=21-4\sqrt{5}=\left(2\sqrt{5}-1\right)^2\) thay vào B được

\(B=\frac{21-4\sqrt{5}+15}{2\sqrt{5}-1+1}=\frac{36-4\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=\frac{-10+18\sqrt{5}}{5}\)

d/ Đặt \(t=\sqrt{x},t\ge0\) thì \(B=\frac{t^2+15}{t+1}=6\Leftrightarrow t^2+15=6\left(t+1\right)\Leftrightarrow t^2-6t+9=0\Leftrightarrow t=3\)

=> x = 9

e/ \(B=\frac{t^2+15}{t+1}=\frac{6\left(t+1\right)+\left(t^2-6t+9\right)}{t+1}=\frac{\left(t-3\right)^2}{t+1}+6\ge6\)

Đẳng thức xảy ra khi t = 3 <=> x = 9

Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất bằng 6 khi x = 9

Answer 2

[OnIine Math]

a/ ĐKXĐ : 0≤x≠4

B=x√x+15√x−35x−√x−2 −√x+2√x+1 −√x−1√x−2 

=x√x+15√x−35−(√x+2)(√x−2)−(√x+1)(√x−1)(√x+1)(√x−2) 

=x√x+15√x−35−x+4−x+1(√x+1)(√x−2) 

=x√x−2x+15√x−30(√x+1)(√x−2) =(√x−2)(x+15)(√x+1)(√x−2) =x+15√x+1 

c/ x=21−4√5=(2√5−1)2 thay vào B được

B=21−4√5+152√5−1+1 =36−4√52√5 =−10+18√55 

d/ Đặt t=√x,t≥0 thì B=t2+15t+1 =6⇔t2+15=6(t+1)⇔t2−6t+9=0⇔t=3

=> x = 9

e/ B=t2+15t+1 =6(t+1)+(t2−6t+9)t+1 =(t−3)2t+1 +6≥6

Đẳng thức xảy ra khi t = 3 <=> x = 9

Vậy B đạt giá trị nhỏ nhất bằng 6 khi x = 9