Question

[A Lan]

Cho biểu thức \(P=\left(\frac{x+1}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1}-\frac{x-1}{x-\sqrt{x}}\right)^{10}\) với x > 0, \(x\ne1\). Tìm số hạng không chứa x trong khai triển Newton của P ?

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

\(P=\left(\frac{\left(\sqrt[3]{x}+1\right)\left(\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1\right)}{\sqrt[3]{x^2}-\sqrt[3]{x}+1}-\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}\right)^{10}\)

\(=\left(\sqrt[3]{x}+1-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}}\right)^{10}=\left(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^{10}=\left(x^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{-1}{2}}\right)^{10}\)

\(=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^k.\left(-1\right)^{10-k}.\left(x^{\frac{1}{3}}\right)^k.\left(x^{\frac{-1}{2}}\right)^{10-k}=\sum\limits^{10}_{k=0}C_{10}^k\left(-1\right)^{10-k}x^{\frac{5k-30}{6}}\)

Số hạng ko chứa x \(\Rightarrow\frac{5k-30}{6}=0\Rightarrow k=6\)

\(\Rightarrow C_{10}^6.\left(-1\right)^4=210\)