Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có (ad−bc)2+(ac+bd)2=a2d2+b2c2−2abcd+a2c2+b2d2+2abcd=(a2+b2)(c2+d2)
Từ gia thiết ta có
1+(ac+bd)2=(a2+b2)(c2+d2)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có
(a2+b2)+(c2+d2)≥2√(a2+b2)(c2+d2)
Do đó S≥ac+bd+2√(a2+b2)(c2+d2)
=> S≥(ac+bd)+2√1+(ac+bd)2
Dễ thấy rằng S>0
Đặt x = ac+bd
=>S≥x+2√1+x2
S2≥x2+4(1+x2)+4x.√1+x2=(√1+x2+2x)2+3≥3
Do đó S≥√3 (đpcm)
mà đề cho (a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) thì phải liên tưởng đến (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) để đưa vào bất đẳng thức. Vậy phải xuất phát từ biểu thức này và biến đổi theo một cách nào đó cho nó xuất hiện giả thiết là : ad - bc = 1. Ở đây là thêm và bớt 2abcd
Ta có: (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ac)^2 + (bd)^2 + (ad)^2 + (bc)^2 - 2abcd + 2abcd = (ad - bc)^2 + (ac + bd)^2
Thay: ad - bc = 1 => 1 + (ac + bd)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)
Áp dụng BĐT Cauchy:
(a^2 + b^2) + (c^2 + d^2) ≥ 2√[(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)]
=> a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ac + bd ≥ 2√[(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)] + ac + bd
Do đó chỉ cần CM: 2√[(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)] + ac + bd ≥ √3
<=> 2 √[1 + (ac + bd)^2] + ac + bd ≥ √3
Đặt ac + bd = x và p = 2√(1 + x^2) + x
Ta có IxI = √(x^2) < 2√(1 + x^2) ; mà IxI ≥ -x => p > 0
Xét: p^2 = 4(1 + x)^2 + 4x√(1 + x^2) + x^2 = (1 + x^2) + 4x√(1 + x^2) + 4x^2 + 3
= [√(1 + x^2) + 2x]^2 + 3 ≥ 3 => p^2 ≥ 3 => p ≥ √3
=> S ≥ √3
b/ Dấu đẳng thức xảy ra khi a^2 + b^2 = c^2 + d^2 và √(1 + x^2) + 2x = 0 => x = -1/√3
Khi đó có: a^2 + b^2 = c^2 + d^2 và ac + bd = -1/√3 và ad - bc = 1
Theo biến đổi ở đầu bài thì (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = (ad - bc)^2 + (ac + bd)^2 = 1 + 1/3 = 4/3
Do đó: a^2 + b^2 = c^2 + d^2 = 2/√3
Ta có: (a + c)^2 + (b + d)^2 = a^2 + c^2 + b^2 + d^2 + 2ac + 2bd = 2. 2/√3 + 2.(-1/√3) = 2/√3
vậy: (a + c)^2 + (b + d)^2 = 2/√3
Học chi cho lắm cx bằng nhau à
ta có \(a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\)d
=2(...................giống bên trên......................)=2a^2+2b^2+2c^2+2d^2+2ac+2bd
=(a^2+2ac+c^2)+(b^2+2bd+d^2)+(a^2+2ad+d^2)+(b^2+2bc+c^2)-2ad-2bc
=(a+c)^2+(b+d)^2+(a+d)^2+(b+c)^2-2(ad-bc)
mà ad-bc=-1
đến dây bạn tự làm
toán ko có lời giải mà người đăng câu hỏi này cx có vấn đề thần kinh mong mn thông cảm
người vít câu tl này là ng thông minh và đẹp trai
em ms hok lp 7 thui ak! sorry nha 2 năm nữa e giải cho!
Lời giải:
Đặt biểu thức đã cho là $A$.
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^2+b^2+c^2+d^2\geq 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)}\)
Mà:
\((a^2+b^2)(c^2+d^2)=a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2\)
\(=(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=1+(ad+bc)^2\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+d^2\geq 2\sqrt{1+(ad+bc)^2}\)
\(\Rightarrow A\geq 2\sqrt{1+(ad+bc)^2}+ad+bc\). Đặt $ad+bc=t$ thì: $A\geq 2\sqrt{t^2+1}+t$.
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((t^2+1)\left[(\frac{-1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2\right]\geq (\frac{-t}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})^2\)
\(\Leftrightarrow \sqrt{t^2+1}\geq |\frac{-t}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}|\)
\(\Rightarrow A\geq 2\sqrt{t^2+1}+t\geq 2|\frac{-t}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}|+t\geq 2(\frac{-t}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2})+t=\sqrt{3}\) (đpcm)
Giải:
\(S=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\)
\(\Leftrightarrow S=a^2+b^2+c^2+d^2-2ac+ac+2bd-bd\)
\(\Leftrightarrow S=a^2-2ac+c^2+b^2+2bd+d^2+ac-bd\)
\(\Leftrightarrow S=\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2+2bd+d^2\right)-\left(ac-bd\right)\)
\(\Leftrightarrow S=\left(a-c\right)^2+\left(b+d\right)^2-1\)
\(\Leftrightarrow S\ge-1\)
\(\Leftrightarrow S\ge\sqrt{3}\left(\sqrt{3}>1\right)\)
Vậy ...
bài này thì đơn giản thôi
1+(ac+bd)2=(ad-bc)2+(ac+bd)2=a2d2+b2c2+a2c2+b2d2
=(a2+b2)(c2+d2)
\(P=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd\ge ac+bd+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\)
\(=ac+bd+2\sqrt{\left(ac+bd\right)^2+1}\)
đặt ac+bd=Q.
P trở thành:
\(P=Q+2\sqrt{Q^2+1}\Rightarrow P^2=Q^2+4\left(Q^2+1\right)+4Q.\sqrt{Q^2+1}=\left(\sqrt{Q^2+1}+2Q\right)^2+3\ge3\)
\(\Rightarrow P\ge\sqrt{3}\left(Q.E.D\right)\)
Bạn giải thích chỗ này ra được không \(ac+bd+2\sqrt{\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)}\)
\(=ac+bd+2\sqrt{\left(ac+bd\right)^2+1}\)