Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2-y^2+t^2=21\\x^2+3y^2+4z^2=101\end{matrix}\right.\) \(\begin{matrix}\left(1\right)\\\left(2\right)\end{matrix}\)
(1)+(2)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x^2+2y^2+4z^2+t^2=122\\x,y,z,t\in N\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow t=2n\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2z^2+2n^2=61\) (3)
\(\Leftrightarrow M=61+2n^2\)
(1) trừ (2)\(\Leftrightarrow y^2+z^2-n^2=20\)
n=0 ; y=2; z=4; x=5
=> Min M =61 khi n=0
(x;y;z;t)=(5;2;4;0)
Uầy, Bunyakovsky phát ra luôn nè :))
Ta có:
\(\left(x+3y+4z+t\right)^2\le\left(1^2+3^2+4^2+1^2\right)\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)=27\left(x^2+y^2+z^2+t^2\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=t\)
Đặt \(x=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=t=k\left(k\inℝ\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=t=k\\y=3k\\z=4k\end{cases}}\) thay vào ta được: \(k^3+27k^3+64k^3+k^3=93\)
\(\Leftrightarrow93k^3=93\Rightarrow k^3=1\Rightarrow k=1\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=t=1\\y=3\\z=4\end{cases}}\)
\(C,\hept{\begin{cases}\left|x-1\right|+\left|y-2\right|=1\\\left|x-1\right|+3y=3\left(#\right)\end{cases}}\)
\(\Rightarrow3y-\left|y-2\right|=2\)(1)
*Nếu y > 2 thì
\(\left(1\right)\Leftrightarrow3y-y+2=2\)
\(\Leftrightarrow y=0\)(Loại do ko tm KĐX)
*Nếu y < 2 thì
\(\left(1\right)\Leftrightarrow3y-2+y=2\)
\(\Leftrightarrow y=1\)(Tm KĐX)
Thay y = 1 vào (#) được \(\left|x-1\right|+3=3\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
Vậy hệ có nghiệm \(\hept{\begin{cases}x=1\\y=1\end{cases}}\)
\(A,ĐKXĐ:x\left(y+1\right)>0\)
\(\hept{\begin{cases}x+y=5\left(1\right)\\\sqrt{\frac{x}{y+1}}+\sqrt{\frac{y+1}{x}}=2\left(2\right)\end{cases}}\)
Giải (2)
Có bđt \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\left(a,b>0\right)\)
Nên \(\sqrt{\frac{x}{y+1}}+\sqrt{\frac{y+1}{x}}\ge2\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y+1\)
Thế x = y + 1 vảo pt (1) được
\(y+1+y=5\)
\(\Leftrightarrow y=2\)
\(\Rightarrow x=2+1=3\)
Thấy x = 3 ; y = 2 thỏa mãn ĐKXĐ
Vậy hệ có ngihiemej \(\hept{\begin{cases}x=3\\y=2\end{cases}}\)
a) \(\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(2x+y\right)=0\\\left(y+1\right)\left(2y-x\right)=0\end{cases}}\)
\(\cdot x=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}0=0\\\left(y+1\right)\left(2y-1\right)=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}0=0\\y=-1;y=\frac{1}{2}\end{cases}}\)
\(\cdot y=-1\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(x-1\right)\left(2x-1\right)=0\\0=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1;x=\frac{1}{2}\\0=0\end{cases}}\)
\(\cdot x=2y\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(2y-1\right)5y=0\\0=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}y=0\Rightarrow x=0\\y=\frac{1}{2}\Rightarrow x=1\end{cases}}\)
\(y=-2x\Rightarrow\hept{\begin{cases}0=0\\\left(1-2x\right)5x=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=\frac{1}{2}\Rightarrow y=-1\\x=0\Rightarrow y=0\end{cases}}\)
b) \(\hept{\begin{cases}x+y=\frac{21}{8}\\\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{37}{6}\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{21}{8}-y\\\left(\frac{21}{8}-y\right)^2+y^2=\frac{37}{6}y\left(\frac{21}{8}-y\right)\end{cases}}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{21}{8}-y\\2y^2-\frac{21}{4}y+\frac{441}{64}=-\frac{37}{6}y^2+\frac{259}{16}y\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{21}{8}-y\\1568y^2-4116y+1323=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{3}{8}\\y=\frac{9}{4}\end{cases}}hay\hept{\begin{cases}x=\frac{9}{4}\\y=\frac{3}{8}\end{cases}}\)
c) \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\\\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}=4\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{z^2}=\left(2-\frac{1}{x}-\frac{1}{y}\right)^2\\\frac{1}{z^2}=\frac{2}{xy}-4\end{cases}}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2xy-x-y\right)^2=-4x^2y^2+2xy\\\frac{1}{z^2}=\frac{2}{xy}-4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}8x^2y^2-4x^2y-4xy^2+x^2+y^2-2xy+2xy=0\\\frac{1}{z^2}=\frac{2}{xy}-4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}4x^2y^2-4x^2y+x^2+4x^2y^2-4xy^2+y^2=0\\\frac{1}{z^2}=\frac{2}{xy}-4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2xy-x\right)^2+\left(2xy-y\right)^2=0\\\frac{1}{z^2}=\frac{2}{xy}-4\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=\frac{1}{2}\\z=\frac{-1}{2}\end{cases}}\)
d) \(\hept{\begin{cases}xy+x+y=71\\x^2y+xy^2=880\end{cases}}\). Đặt \(\hept{\begin{cases}x+y=S\\xy=P\end{cases}}\), ta có: \(\hept{\begin{cases}S+P=71\\SP=880\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S=71-P\\P\left(71-P\right)=880\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S=71-P\\P^2-71P+880=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S=16\\P=55\end{cases}}hay\hept{\begin{cases}S=55\\P=16\end{cases}}\)
\(\cdot\hept{\begin{cases}S=16\\P=55\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=16\\xy=55\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=16-y\\y\left(16-y\right)=55\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=16-y\\y^2-16y+55=0\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5\\y=11\end{cases}}hay\hept{\begin{cases}x=11\\y=5\end{cases}}\)
\(\cdot\hept{\begin{cases}S=55\\P=16\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=55\\xy=16\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=55-y\\y\left(55-y\right)=16\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=55-y\\y^2-55y+16=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{55-3\sqrt{329}}{2}\\y=\frac{55+3\sqrt{329}}{2}\end{cases}}hay\hept{\begin{cases}x=\frac{55+3\sqrt{329}}{2}\\y=\frac{55-3\sqrt{329}}{2}\end{cases}}\)
e) \(\hept{\begin{cases}x\sqrt{y}+y\sqrt{x}=12\\x\sqrt{x}+y\sqrt{y}=28\end{cases}}\). Đặt \(\hept{\begin{cases}S=\sqrt{x}+\sqrt{y}\\P=\sqrt{xy}\end{cases}}\), ta có \(\hept{\begin{cases}SP=12\\P\left(S^2-2P\right)=28\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S=\frac{12}{P}\\P\left(\frac{144}{P^2}-2P\right)=28\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}S=\frac{12}{P}\\2P^4+28P^2-144P=0\end{cases}}\)
Tự làm tiếp nhá! Đuối lắm luôn
Lấy (1) cộng (2) ta được
\(\hept{\begin{cases}2x^2+2y^2+4z^2+t^2=122\\x,y,z,t\in N\end{cases}=>}t=2n\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+2z^2+2n^2=61\)
\(\Rightarrow M=61+2n^2\)
(1) trừ (2)\(\Leftrightarrow y^2+z^2-n^2=20\)
n=0 ; y=2; z=4; x=5
=> Min M =61 khi n=0
(x;y;z;t)=(5;2;4;0)
Lấy (1) cộng (2) theo từng vế ta có:
\(2\left(x^2+y^2+2z^2+t^2\right)-t^2=122\)
\(\Rightarrow M=\frac{122+t^2}{2}=61+\frac{t^2}{2}\ge61\forall t\)
=> Min M = 61 khi t = 0
Với t = 0 từ (1) \(\Rightarrow x^2-y^2=21\)
Hay: \(\left(x+y\right)\left(x-y\right)=21\)
Vì \(x,y,z,t\in N\) nên ta có 2 TH:
TH1:
\(\hept{\begin{cases}x-y=1\\x+y=21\end{cases}\Leftrightarrow x=11,y=10}\) (loại vì không thỏa mãn (2) )
TH2:
\(\hept{\begin{cases}x-y=3\\x+y=7\end{cases}\Leftrightarrow x=5,y=2}\)(thỏa mãn)
Thay vào (2) ta được: z = 4
Vậy: Min M = 61 tại x = 5, y = 2, z = 4, t = 0
=.= hk tốt!!