Question

[Đĩ Nguyễn Con]

Cho biểu thức \(A=x-\left(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}\right)\)với \(x\ge1\). Rút gọn A và chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức A luôn không âm

Answer 1

[Nguyễn Minh Đăng]

Ta có:

\(A=x-\left(\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}-\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}\right)\)

\(A=x-\frac{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}-\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right)}\)

\(A=x-\frac{2\sqrt{x-1}}{x-x+1}\)

\(A=x-2\sqrt{x-1}\)

\(A=\left(x-1\right)-2\sqrt{x-1}+1\)

\(A=\left(\sqrt{x-1}-1\right)^2\ge0\left(\forall x\ge1\right)\)

=> đpcm