Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Với điều kiện \(ab+bc+ca+abc=4\) thì \(VP-VT=\frac{bc^2\left(a-b\right)^2+ca^2\left(b-c\right)^2+ab^2\left(c-a\right)^2}{\left(a^2+2b\right)\left(b^2+2c\right)\left(c^2+2a\right)}\ge0\)
Thật ra bài này là một câu trắc nghiệm thôi và mình muốn có lời giải rõ ràng. Có 4 đáp án các bạn chọn và giải rõ ràng ra nhé.
Hệ số k tốt nhất là:
A. \(\frac{1}{2}\)
B. \(\frac{1}{3}\)
C. \(\frac{1}{4}\)
D. \(\frac{1}{5}\)
Ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{3a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{a^2+ab+ac+bc}}=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\)
Áp dụng bđt Cauchy , ta có : \(\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}\le\frac{bc}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right)\)
Tương tự : \(\frac{ac}{\sqrt{3b+ac}}=\frac{ac}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ac}{2}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\); \(\frac{ab}{\sqrt{3c+ab}}=\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}\le\frac{ab}{2}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow P=\frac{bc}{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\frac{ac}{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(c+b\right)}}\)
\(\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}+\frac{bc}{a+b}+\frac{bc}{a+c}+\frac{ac}{a+b}+\frac{ac}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{2}\left(\frac{ab+bc}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}+\frac{bc+ac}{a+b}\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)
Suy ra : Max P \(=\frac{3}{2}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
đây nhé Câu hỏi của Steffy Han - Toán lớp 8 | Học trực tuyến
ta thấy từ a+b+c=0 \(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)(được cm nhiều trg sách cx như trên mạng)
\(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ac}+\frac{c^2}{ab}=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{3abc}{abc}=3\)
suy ra đpcm
Ta có : \(a+b+c=0\)
Lập phương 2 vế lên ta có :
\(\left(a+b+c\right)^3=0^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)=0\)
mà \(a+b+c=0\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=-c\\b+c=-a\\a+c=-b\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3\left(-a\right)\left(-b\right)\left(-c\right)=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3-3abc=0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\)
Ta lại có:
\(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}-3=0\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{abc}+\frac{b^3}{abc}+\frac{c^3}{abc}-3=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}-3=0\)
Theo chứng minh trên có : \(a^3+b^3+c^3=3abc\)
\(\Rightarrow\frac{3abc}{abc}-3=0\)
\(\Leftrightarrow3-3=0\)( đúng )
Vậy với \(a+b+c=0\left(a\ne0;b\ne0;c\ne0\right)\)thì \(\frac{a^2}{bc}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}-3=0\)
Ta có: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+a+b+c=2+2018\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+ab+bc}{b+c}+\frac{b+bc+ab}{c+a}+\frac{c+ac+bc}{a+b}=2020\)
\(\Leftrightarrow a\left(\frac{1+b+c}{b+c}\right)+b\left(\frac{1+a+c}{a+c}\right)+c\left(\frac{1+a+b}{a+b}\right)=2020\left(1\right)\)
Vì \(a+b+c=2018\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b=2018-c\\b+c=2018-a\\c+a=2018-b\end{cases}\left(2\right)}\)
Thay (2) vào (1) ta được:
\(a\left(\frac{2019-a}{b+c}\right)+b\left(\frac{2019-b}{a+c}\right)+c\left(\frac{2019-c}{a+b}\right)=2020\)
\(\Leftrightarrow\frac{2019a-a^2}{b+c}+\frac{2019b-b^2}{a+c}+\frac{2019c-c^2}{a+b}=2020\)
\(\Leftrightarrow\frac{2019a}{b+c}-\frac{a^2}{b+c}+\frac{2019b}{a+c}-\frac{b^2}{a+c}+\frac{2019c}{a+b}-\frac{c^2}{a+b}=2020\)
\(\Leftrightarrow2019\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)-\left(\frac{a^2}{c+b}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)=2020\)
\(\Leftrightarrow4038-\left(\frac{a^2}{c+b}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}\right)=2020\)( vì \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}=2\))
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{c+b}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}=2018\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{c+b}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}+1=2019\)
a) \(A=\frac{a^2}{cb}+\frac{b^2}{ca}+\frac{c^2}{ab}\)
\(A=\frac{a^2.a+b^2.b+c^2.c}{abc}\)
\(A=\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}\left(1\right)\)
Ta lại có: \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a+b=-c\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^3=-c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=-c^3\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3a^2b-3ab^2\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=-3ab\left(-c\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3=3abc\left(2\right)\)
Lấy (2) thay vào (1), ta được:
\(\frac{a^3+b^3+c^3}{abc}=\frac{3abc}{abc}=3\)
a) cho a+b+c=0a+b+c=0 và abc khác 0 Tính a2(a2−b2−c2)+b2(b2−c2−a2)+c2(c2−b2−a2)
b) B mình k biết
Ta co: \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b+c\right)\left[\left(a^2+b^2+c^2\right)-ab-ac-bc\right]\\ \)
{Có thể c/m bằng cách ghép--> không thuộc 7 HDT , tuy nhiên cũng nên nhớ }
\(B=\dfrac{\left(a+b+c\right)\left[\left(a^2+b^2+c^2\right)-ab-ac-bc\right]}{\left[\left(a^2+b^2+c^2\right)-ab-ac-bc\right]}=\left(a+b+c\right)=2016\)
Cho mình sửa đề một chút nha
\(A=\dfrac{ab}{a^2+b^2-c^2}+\dfrac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\dfrac{ca}{c^2+a^2-b^2}\)(*)
Theo bài ra , ta có :
\(\left(+\right)a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a+b=-c\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2=c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2=c^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2-c^2=-2ab\) (1)
\(\left(+\right)a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow b+c=-a\)
\(\Leftrightarrow\left(b+c\right)^2=a^2\)
\(\Leftrightarrow b^2+2bc+c^2=a^2\)
\(\Leftrightarrow b^2+c^2-a^2=-2bc\) (2)
\(\left(+\right)a+b+c=0\)
\(\Leftrightarrow a+c=-b\)
\(\Leftrightarrow\left(a+c\right)^2=b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+2ac+c^2=b^2\)
\(\Leftrightarrow a^2+c^2-b^2=-2ac\) (3)
Thay (1) , (2) , (3) vào (*) ta được
\(A=\dfrac{ab}{a^2+b^2-c^2}+\dfrac{bc}{b^2+c^2-a^2}+\dfrac{ca}{c^2+a^2-b^2}\)
\(=\dfrac{ab}{-2ab}+\dfrac{bc}{-2bc}+\dfrac{ca}{-2ca}=-\dfrac{1}{2}+-\dfrac{1}{2}+-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{3}{2}\)
Vậy \(A=-\dfrac{3}{2}\)
Chúc bạn học tốt =))
A=\(\dfrac{-7}{5}\)