Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(t=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\Rightarrow2\le t\le2\sqrt{2}\)
\(t^2=4+2\sqrt{-x^2+6x-5}\Rightarrow\sqrt{-x^2+6x-5}=\frac{t^2-4}{2}\)
BPT trở thành:
\(t+\frac{t^2-4}{2}\ge m\) ; \(\forall t\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\) \(\Leftrightarrow m\le\min\limits_{\left[2;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)\)
Với \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2+t-2\)
Ta có: \(-\frac{b}{2a}=-2\notin\left[2;2\sqrt{2}\right]\) ; \(f\left(2\right)=2\) ; \(f\left(2\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\min\limits_{\left[2;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)=2\Rightarrow m\le2\)
\(\Rightarrow m_{max}=2\)
\(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=t\Rightarrow t^2=4+2\sqrt{\left(5-x\right)\left(x-1\right)}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(5-x\right)\left(x-1\right)}=\frac{t^2-4}{2}\)
\(\Rightarrow t+\frac{1}{2}t^2-2\ge m\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\ge0\\t=\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}\le\sqrt{\left(x-1+5-x\right)\left(1+1\right)}=2\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Bất phương trình trở thành:
Tìm giá trị lớn nhất của m để \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2+t-2\ge m\) có nghiệm đúng với \(\forall t\in\left[0;2\sqrt{2}\right]\)
\(\Leftrightarrow m\le max_{\left[0;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)\)
Xét hàm \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2+t-2\) trên \(\left[0;2\sqrt{2}\right]\)
Do \(-\frac{b}{2a}=-1\notin\left[0;2\sqrt{2}\right]\) nên cực trị rơi vào 2 đầu mút
\(f\left(0\right)=-2;f\left(2\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow max_{\left[0;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)=f\left(2\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow m\le2+2\sqrt{2}\Rightarrow m_{max}=2+2\sqrt{2}\)
Đáp án của toi:https://hoc24.vn/cau-hoi/tim-tat-ca-cac-gia-tri-cua-tham-so-m-de-bat-phuong-trinh-sau-co-nosqrt2xsqrt4-x-sqrt82x-x2le-m.920223129881
Đáp án của một bạn khác: https://hoc24.vn/cau-hoi/tim-tat-ca-cac-gia-tri-cua-tham-so-m-de-bat-phuong-trinh-sau-co-nosqrt2xsqrt4-x-sqrt82x-x2le-m.616555176629
ĐK: \(-2\le x\le4\)
Đặt \(\sqrt{2+x}+\sqrt{4-x}=t\left(\sqrt{6}\le t\le2\sqrt{3}\right)\)
\(\Rightarrow\sqrt{8+2x-x^2}=\dfrac{t^2-6}{2}\)
Bất phương trình tương đương:
\(t+\dfrac{t^2-6}{2}\le m\)
\(\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^2+2t-6\le2m\)
Bất phương trình đã cho có nghiệm khi \(2m\ge minf\left(t\right)=f\left(\sqrt{6}\right)=2\sqrt{6}\)
\(\Leftrightarrow m\ge\sqrt{6}\)
Kết luận: \(m\ge\sqrt{6}\)
Đặt \(t=\sqrt{2+x}+\sqrt{4-x}\) (\(t\in\left[\sqrt{6};2\sqrt{3}\right]\) )
\(\Leftrightarrow t^2=6+2\sqrt{8+2x-x^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{t^2-6}{2}=\sqrt{8+2x-x^2}\)
Khi đó ta cần tìm m để bpt \(t-\dfrac{t^2-6}{2}\le m\) có nghiệm \(t\in\left[\sqrt{6};2\sqrt{3}\right]\)
\(\Leftrightarrow-t^2+2t+6-2m\le0\) có nghiệm \(t\in\left[\sqrt{6};2\sqrt{3}\right]\)
Đặt \(f\left(t\right)=-t^2+2t+6-2m\) , \(t\in\left[\sqrt{6};2\sqrt{3}\right]\)
BBT
TH1: \(maxf\left(t\right)\le0\) \(\Leftrightarrow f\left(1\right)\le0\) \(\Leftrightarrow7-2m\le0\) \(\Leftrightarrow m\ge\dfrac{7}{2}\) (I)
TH2: \(maxf\left(t\right)>0\Leftrightarrow7-2m>0\Leftrightarrow m< \dfrac{7}{2}\)
Để \(f\left(t\right)\le0\) có nghiệm \(t\in\left[\sqrt{6};2\sqrt{3}\right]\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}2\sqrt{6}-2m\le0\\2\sqrt{6}-2m>0\ge-6+4\sqrt{3}-2m\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge\sqrt{6}\\\sqrt{6}>m\ge-3+2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
Kết hợp với đk ta có:\(\left[{}\begin{matrix}\dfrac{7}{2}>m\ge\sqrt{6}\\\sqrt{6}>m\ge-3+2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\) (II)
Từ (I) (II) ta có: \(m\in\left[-3+2\sqrt{3};+\infty\right]\)
Sửa đề: \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}+...\)
Đặt \(\sqrt{x-1}+\sqrt{5-x}=t\Rightarrow2\le t\le2\sqrt{2}\)
\(t^2=4+2\sqrt{-x^2+6x-5}\Rightarrow\sqrt{-x^2+6x-5}=\frac{1}{2}t^2-2\)
BPT trở thành: tìm m lớn nhất để
\(t+\frac{1}{2}t^2-2\ge m\) với mọi \(t\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\)
Xét \(f\left(t\right)=\frac{1}{2}t^2+t-2\) trên \(\left[2;2\sqrt{2}\right]\)
\(-\frac{b}{2a}=-1\notin\left[2;2\sqrt{2}\right]\)
\(f\left(2\right)=-\frac{11}{8};f\left(2\sqrt{2}\right)=2+2\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow\min\limits_{\left[2;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)=f\left(2\right)=-\frac{11}{8}\)
\(\Rightarrow\) Để \(f\left(t\right)\ge m;\forall t\in\left[2;2\sqrt{2}\right]\Leftrightarrow m\le\min\limits_{\left[2;2\sqrt{2}\right]}f\left(t\right)=-\frac{11}{8}\)
\(\Rightarrow m_{max}=-\frac{11}{8}\)